Respublikasi oliy

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni turi saqlanadigan sohada kanonik ko`rinishga keltirish
Misol. Quyidagi tenglamani kanonik ko`rinishga keltiraylik:


u_xx-2u_xy-3u_yy+u_y=0.
^a12


₌ -1, a₁₁


= 1,


^a22


= -3 - tenglama koeffisiyentlari.


D = a ²


_- a<sub>11


×</sub> a₂₂


ifodaning


12
kiymatini hisoblaymiz. D = 4 > 0 , demak tenglama giperbolik turga tegishli. (9)
xarakteristik tenglamani yechamiz.


^{dy = - 1 + 2 = 1 Þ x - y = C , dy = - 1 - 2 = -3 Þ 3x + y = C}
dx 1 dx 1
Umumiy integrallardan birini x va ikkinchisini h bilan belgilab, (7) formulalardan foydalanib hisoblashlarning natijalarini berilgan tenglamaga keltirib qo`yib, soddalashtirishlardan so`ng tenglamaning quyidagi kanonik ko`rinishini


hosil qilamiz:


<sup>uxh


- 1 (u</sup>
16 ^x


_- u_h


^{) = 0 .}


Ko`p erkli o`zgaruvchili funksiyalar (n>2) bo`lgan hol uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko`rinishga keltirish
Ko`p erkli o`zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama qanday kanonik ko`rinishga keltiriladi? Shu masalani qarab chiqaylik. Ko`p


o`zgaruvchili chiziqli ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagicha berilgan bo`lsin :
n
å
¶²u
i
i
A


_{+ åB}


^{¶u + Cu = f}


(12)
i, j=1


^ij ¶x ¶x


n
j
i,=1


ⁱ ¶x
n
U holda ushbu tenglamaning xarakteristik tenglamasi ko`rinishi kvadratik forma bo`ladi:


_Q(l₁,...,l_n ) = _{å Aij (x)lil j .}
i, j =1


Har bir fiksirlangan x nuqtada Q kvadratik formani uncha qiyin bo`lmagan affin almashtirishlari yordamida kanonik ko`rinishga keltirish mumkin:


n
^Q = _{åa x} ²


i i
i=1


(13)


Bu yerda


^a_{i lar 1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (13) dagi manfiy va nol}
koeffisiyentlar Q ni kanonik ko`rinishga keltirsh usuliga bog`liq emas. Shunga asosan (12) tenglama klassifikasiyalanadi.


Ta`rif: Agar har bir


x Î D


_nuqtada (13) dagi ^a_i


koeffisiyentlar mos


ravishda: hammasi noldan farqli va bir xil ishorali; hammasi noldan farqli va har xil ishorali; va nihoyat hech bo`lmasi bittasi (hammasi emas) nol bo`lsa,
(12) chiziqli tenglama D sohada elliptik, giperbolik yoki parabolik deyiladi,


Ko`p erkli o`zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardan bittasini kanonik ko`rinishga keltirish usulini qarab chiqaylik.
Misol. Quyidagi tenglama berilgan bo`lsin:


_{uxx + 2uxy + 2uyy + 4uyz + 5uzz = 0 .}


Ushbu tenglamaga mos xarakteristik kvadratik forma


^Q = l^{2 + 2l l + 2l2 + 4l l + 5l2}


ko`rinishda bo`ladi. Bu kvadratik formani,


1 1 2 2 2 3 3


masalan, Lagranj usulidan foydalanib kanonik ko`rinishga keltiramiz:


Q = (l₁


+ l₂


^{)2 + (l}


+ 2l₃


^{)2 + l2 . Quyidagi belgilashlar kiritamiz:}


2
3
_{m1 = l1 + l2 ;}


^m₂ ^{= l}₂ ^{+ 2l}<sub>3 ;


m1 = l3</sub>


(*)
^{va natijada} Q formani kanonik ko`rinishga keltiramiz: Q = m ^{2 + m 2 + m 2 .}
1 2 3


^{æ 1 -1 2 ö}


(*) tengliklardan l larni topib olamiz. Shunday qilib,


ç ÷
÷
_M = _{ç 0 1 - 2 matrisali}


0
0
1
ç ÷
è ø


quyidagi xosmas affin almashtirishlari:


^l₁ ^{= m}₁ ^{- m}₂ ^{+ 2m}_{3 ,}


^l₂ ^{= m}₂ ^{- 2m}_{3 ,}


^l₃ ^{= m}_{3 Q}
^formani kanonik ko`rinishga keltiradi: Q = m ^{2 + m 2 + m 2 .}
1 2 3


Berilgan differensial tenglamani kanonik ko`rinishga keltiradigan xosmas affin almashtirishining matrisasi M matrisaga simmetrik bo`lgan matrisa bo`ladi:


^{æ 1 0}
ç
ç
_M ^* = _{ç- 1 1}
2
_{è - 2}


^0ö
÷
^{0÷, bu almashtirish quidagi ko`rinishga ega:}
1
÷
ø


x = x ;


h = - x + y ;


z = 2x - 2y + z .


Shulardan va


u(x, y, z) = v(x,h)


belgilashdan foydalanib, quyidagilarni
topamiz:
^{uxx = vxx}


₊ v<sub>hh + 4vzz


-</sub> 2v<sub>xh


+</sub> 4v<sub>xz


-</sub> 4v<sub>hz ;


uyy = vhh + 4vzz


-</sub> 4v_{hz ;}


^{u zz = vzz ;}


<sub>uxy = -vhh - 4vzz


+</sub> v<sub>xh


-</sub> 2v<sub>xz


+</sub> 4v<sub>hz


;</sub> u<sub>yz = -2vzz


+</sub> v_{hz .}
Topilgan ifodalarni tenglamaga etib qo`yib, soddalashtirishlar bajargandan


so`ng, berilgan tenglamaning kanonik ko`rinishini olamiz:


^vxx


₊ v_{hh + vzz}


= 0 .