Reja kirish

Teorema. Agar uzluksiz kasr to`liq bo`lmagan bo`linmalarga ega bo`lsa va bu to`liq bo`lmagan bo`linmalarning har biri birga teng bo`lsa, u xolda kasr ga teng bo`ladi.

Isbot. n ta birlik to`liq bo`lmagan bo`linmalarga ega bo`lgan uzluksiz kasrni _n orqali belgilaymiz. U xolda ketma-ketlik _n ning mos kasrlari bo`ladi.

Faraz qilaylik,

U xolda

va

ekanligidan bo`lishi kerak edi. Undan tashqari

.

Shuning uchun (1-bob 6. p. bilan taqqoslang) .

Xuddi shunga o`xshab, Shuning uchun Demak,

9. Quyidgi ifoda cheksiz uzluksiz kasr deb ataladi:

Cheksiz uzluksiz kasrlarga ham avvalgi ta`rif va natijalarni tatbiq etish mumkin.

Faraz qilaylik,

(3.21) kasrga mos keluvchi kasrlar ketma-ketligi bo`lsin. Bu ketma-ketlikning limitga ega ekanligini ko`rsatamiz.

Buning uchun

hamda

kasrlar ketma-ketligini ko`raylik. (3.12) va (3.13) asosida

Demak, (3.23) ketma-ketlik o`suvchan. Xuddi shuningdek,

formuladan (3.24) ning kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi.

(3.24) ketma-ketlikning ixtiyoriy hadi (3.23) ketma-ketlikning ixtiyoriy hadidan katta. Haqiqatdan ham quyidagi sonlarni ko`raylik:

.

2n va dan katta bo`lgan k toq sonni olamiz. (3.12) dan quyidagi shart kelib chiqadi:

(3.23) ning o`suvchiligi va (3.24) ning kamayuvchiligidan esa

va

ekanligi kelib chiqadi. (3.25), (3.26) va (3.27) larni taqqoslasak

ya`ni, ixtiyoriy juft mos keluvchi kasr ixtiyoriy toq kasrdan kichik bo`ladi. (3.12) va (3.13) lar asosida

va shuning uchun n kattalashib borgani sari mos keluvchi kasrlarning ayirmalari absolyut qiymati bo`yicha nolga intiladi.

Yuqoridagi ma`lumotlardan hulosa qilish mumkinki, (3.23) va (3.24) ketma-ketliklar bir хil limitga ega. Bu limit (3.22) ning ham limiti bo`ladi. Bu limit (3.221) cheksiz uzluksiz kasrning qiymati deb ataladi.

2.p. da biz ratsional sonni uzluksiz kasrga yoyish mumkinligi haqida fikr yuritgan edik. Yuritgan mulohazalarimizda qaralayotgan kasrlarning chekli ekanligi tilga olinmagan edi. Demak, bu bilan ixtiyoriy (nafaqat ratsional) son bittadan ortiq bo`lmagan kasrning qiymati bo`lishi mumkinligini ham isbotladik.

10. Quyidagi cheksiz uzluksiz kasrning qiymatini topamiz:

Yuqorida isbotlanganidek, bu qiymat ga teng. Bu yerda . Limitni hisoblaymiz.

1-bobning 20.p. da aytib o`tildiki, soni ga yaqin bo`lgan butun son bo`ladi. Demak,

bu yerda n qanday bo`lishidan qat`iy nazar, .

Shuning uchun, 5.p. da isbotlangan tasdiqqa ko`ra

Ammo, soni chegaralangan (uning absolyut qiymati 2 dan kichik), esa n o`sib borgani sari o`sib boradi (chunki ). Demak,

Isbotdan ko`rinib turibdiki, yonma-yon turgan Fibonachchi sonlari ularning tartib nomerlari o`sib borgani sari  ga intiladi. Bundan  sonini hisoblashda foydalanish mumkin. Bunday hisoblashdagi hatolik kichkina Fibonachchi sonlarini olganimizda ham yetarlicha kichik bo`ladi. Masalan, (5 belgigacha aniqlikda)

 esa 1,6180 ga teng. Hatolikning 0,1% dan kichik ekanligi ko`rinib turibdi.

Irratsional sonlarni mos keluvchi kasrlar va ularning uzluksiz kasrga yoyilmasidan foydalanib hisoblashda  soni eng yomon holatni ifodalaydi. Ixtiyoriy boshqa son o`ziga mos keluvchi  dan aniqroq bo`lgan kasrlar yordamida ifodalanishi mumkin.