Reja kirish

Lemma.

Isbot. Ma`lumki,

Binomial koeffitsientlar ta`rifidan foydalansak,

bo`ladi. ammo, bu tenglikning o`ng va chap tomonlarida bir хil ko`phad turibdi. Shuning uchun, x larning oldida turgan koeffitsientlar o`ng va chap tomonlarda teng bo`lishi lozim. Hususan,

bo`lishi kerak. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Isbotlangan lemmadan ko`rinib turibdiki, binomial koeffitsientlar qandaydir rekkurent munosabat yordamida ham hisoblanishi mumkin. Ushbu holat bizga Qo`shiluvchi yordamida binomial koeffitsientlar haqidagi bir nechta tasdiqlarni isbotlash imkon beradi.

12. Binomial koeffitsientlarni quyidagi Paskal uchburchagi shaklida ifodalaymiz:

13. (1.11) formula bizga Paskal uchburchagining bitta satrida turgan binomial koeffitsientlarni bir-biriga bog’lovchi ikkita muhim munosabatni keltirib chiqarishga yordam beradi.

(1.11) x=1 desak,

bo`ladi. Agar deb qabul qilsak, u holda

bo`ladi.

14. n bo`yicha Qo`shiluvchi usulidan foydalanib,

(1.12)

ekanligini isbotlaymiz.

Ko`pincha, bu formuladan binomial koeffitsientlarni aniqlashda foydalaniladi. U C<sub>n</sub> binomial koeffitsientlarni n ta elementdan k tasining kombinatsiyalari shaklida ifodalaydi. Biz bu yerda boshqa yo`l tutamiz. Agar nolli ko`paytuvchilarning ko`paytmasini birga teng deb kelishib olinsa, k=0 bo`lgan holda biz (1.12) dan o`zimizga ma`lum bo`lgan tenglikni olamiz. Uni e`tiborga olib, biz k1 bo`lgan hol bilan cheklanamiz.

n1 bo`lganda bo`ladi. endi (1.12) formula n ning biror qiymatida ixtiyoriy k=0, 1, 2, … sonlar uchun o`rinli bo`lsin. sonini qayraylik. k1 bo`lgani uchun biz

deb yoza olamiz yoki (1.12) induktiv farazdan foydalansak,

Oxirgi tenglik Paskal uchburchagining navbatdagi satri uchun binomial koeffitsientlar formulasi bo`ladi.

15. Paskal uchburchagining 45^o ostida turgan sonlari orqali chiziq o`tkazamiz va uni Paskal uchburchagining chiqayotgan diagonali deb ataymiz. Masalan, chiquvchi diagonallar 1, 4, 3 sonlari yoki 1, 5, 6, 1 sonlar orqali o`tishi mumkin.

Chiquvchi diagonallar ostida yotuvchi sonlarning Fibonachchi sonlari ekanligini ko`rsatamiz.

Haqiqatdan ham, eng yuqorida turgan diagonal faqat birlardan iborat bo`lishini isbotlaymiz. Uning ikkinchi diagonali ham birlardan iborat bo`ladi. Ushbu tasdiqlarni isbotlash uchun biz Paskal diagonalini tashkil etuvchi n va n+1 barcha sonlarning yig’indisi Paskal uchburchagining navbatdagi n+1 satridagi sonlarning yig’indisiga teng ekanligini ko`rsatish yetarli.

Ammo, n-chi diagonalda

sonlari, n+1 satrda esa

sonlari joylashgan.

Bu sonlarning yig’indisini quyidagicha yozamiz:

Bu ifodani II-punktdagi lemmani hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:

Oxirgi yozilgan ifoda uchburchakning chiquvchi diagonalining n+2 satrida yotgan sonlarning yig’indisini beradi.

Hozirgina isbotlangan ifoda uchun (1.1.) formula asosida quyidagi hulosani chiqarish mumkin: Paskal uchburchagining n-chi chiquvchi diagonalidan (shu diagonalning o`zi ham kiradi) yuqorida joylashgan barcha binomial koeffitsientlarning yig’indisi ga teng bo`ladi.

16. Biz hozirgacha Fibonachchi sonlarini rekkurent aniqlagan edik. Ammo, tekshirishlar ko`rsatdiki, Fibonachchi sonlarini ularning tartib nomerlarining funksiyasi sifatida ham ifodalash mumkin ekan.

Buning uchun

(1.13)

shartni qanoatlantiradigan sonlar ketma-ketligini qaraymiz. Barcha shunday ketma-ketliklarni (1.13) tenglamani yechimlari deb hisoblaymiz.

V, V’ va V" lar orqali mos ravishda quyidagi ketma-ketliklarni belgilaylik:

Dastlab ikkita sodda lemmalarni isbotlaymiz.

Lemma I. Agar (1.13) tenglamaning yechimi V hamda c-ixtiyoriy son bo`lsa, u holda cV ketma-ketlik (ya`ni ham (1.13) tenglamaning yechimi bo`ladi.

Isbot. munosabatning c ga hadma—had ko`paytiramiz:

Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Lemma-2. Agar V’ va V” ketma-ketliklar (1.13) tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda ularning V’+V” yig’indisi ham (ya`ni yig’indi ham (1.13) tenglamaning yechimi bo`ladi.

Isbot. Lemmaning shartiga ko`ra,

va

edi. Bu ikki tenglikni hadma-had qo`shamiz:

Lemma shu bilan isbot bo`ldi.

Faraz qilaylik, V’ va V" — (1.13) tenglamaning ikkita noproporsional yechimi (ya`ni shunday ikkita yechimki, ixtiyoriy o`zgarmas c soni uchun shunday n nomer topiladiki, ) bo`lsin. Biz (1.13) tenglamaning yechimi bo`lgan ixtiyoriy V ketma-ketlikni

(1.14)

ko`rinishida ifodalash mumkinligini isbotlaymiz. Bu yerda c<sub>1</sub> , c<sub>2</sub> – o`zgarmas sonlar. Shuning uchun (1.14) ni (1.13) tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi.

Dastlab, (1.13) tenglamaning V’ va V” yechimlari noproporsional bo`lsa, u holda

(1.15)

(ya`ni, bu noproporsionallik V’ va V” ketma-ketlikning dastlabki ikkita hadidayoq ko`rinib qoldi).

Teskarisini faraz qilamiz. (1.13) tenglamaning V’ va V” noproporsional yechimlari uchun

(1.16)

bo`lsin. Proporsiya ko`paytmasini yozib olamiz:

.

yoki (1.13) tenglamaning yechimlari V’ va V” ekanligini e`tiborga olsak,

.

Qo`shiluvchi orqali ishonch hosil qilish mumkinki,

.

Shunday qilib, (1.16) dan V’ va V" larning proporsionalligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid. Demak, (1.15) munosabat o`rinli.

Endi (1.13) ning yechimi bo`lgan biror V ketma-ketlikni olaylik. Agar bu ketma-ketlikning dastlabki ikkita hadi berilgan bo`lsa, uning qolgan hadlarini topish mumkin.

Shunday c₁ va c₂ sonlarini topamizki, quyidagi shartlar o’rinli bo`lsin:

(1.17)

U holda 1 va 2-lemmalar asosida ifoda bizga V ketma-ketlikni beradi.

(1.1,5) shartlarni e`tiborga olinsa, (1.17) tenglamalar sistemasini va lar qanday bo`lishidan qat`iy nazar, c<sub>1</sub> va c<sub>2</sub> noma`lumlarga nisbatan yechish mumkin :

((1.15) shart bu kasrlarning maxrajlarini noldan farqli ekanligini anglatadi). c₁ va c₂ larning topilgan qiymatlarini (1.14) ga qo`yib, biz V ketma-ketlikning talab qilingan ko`rinishini hosil qilamiz. .

Demak, (1.13) tenglamaning barcha yechimlarini yozish uchun bizga uning ikkita noproporsional yechimlarini bilishimiz yetarli ekan.

Bu yechimlarni geometrik progressiyalar orasidan qidiramiz. 1-lemmaga muvofiq, faqat birinchi hadi birga teng bo`lgan progressiyalarni qaraymiz holos. Shunday qilib, quyidagi progressiyani olaylik:

1, q, q², ...

Bu progressiya (1.13) tenglamaning yechimi bo`lishi uchun ixtiyoriy n da

Shart bajarilishi yoki, bu ifodani ga qisqartirsak,

(1.18)

bo`lishi kerak. Bu tenglamaning yechimlari bo`lgan hamda sonlar biz izlagan progressiyaning maxrajlari bo`ladi. Biz bu sonlarni  va β lar orqali belgilaymiz. Shuni alohida ta`kidlash joizki, (1.18) tenglamaning yechimlari kabi,  va β sonlari uchun ham 1+ =², 1+β=β² hamda β=-1 shartlar o`rinli bo`lishi kerak. .

Biz shunday qilib, (1.13) tenglamaning yechimlari belgan ikkita geometrik progresiya hosil qildik. Shuning uchun, ko`rinishi

(1.19)

bo`lgan barcha ketma-ketliklar (1.13) tenglamaning yechimi bo`la oladi. Biz topgan progressiyalar turli maxrajlarga ega bo`lgani uchun noproporsional va (1.19) formula c₁ , c₂ larning turli qiymatlarida (1.13) tenglamaning barcha yechimlarini bera oladi.

Hususan, ayrim c₁ , c₂ lar uchun (1.19) formula Fibonachchi sonlari qatorini ham berishi lozim. Buning uchun, c₁ , c₂ larni

tenglamalaridan, ya`ni quyidagi sistemadan topish kerak:

Bu sistemani yechib, topamiz:

Bundan esa

ya`ni,

(1.20)

(1.20) formula Bine formulasi deb (uni ishlab chiqqan matematik nomi bilan) ataladi.