|
1. 3. FIBONACHCHI SONLARI VA UZLUKSIZ KASRLAR
Quyidagi ifodani ko`raylik:
Bu yerda musbat butun sonlar. — butun nomanfiy son. Shunday qilib, sonlardan farqli o`laroq, nolga teng bo`lishi mumkin. ning bu holatini biz bundan keyin nazarda tutamiz.
(3.1) kasr uzluksiz kasr, sonlar esa to`liq bo`lmagan bo`linmalar deb ataladi. Ko`rinishi
bo`lgan kasrlar to`liq bo`linma deb ataladi.
Ayrim xollarda uzluksiz kasrlarni zanjir kasrlar deb ham yuritiladi. Uzluksiz kasrlar matematikaning ko`plab sohalarida keng qo`llaniladi.
Biror sonni uzluksiz kasrlarga aylantirish jarayoni bu sonni uzluksiz kasrga yoyish deb ataladi.
Kasrlarning yoyishdagi to`liq bo`lmagan bo`linmalarni qanday topilishini ko`raylik.
Buning uchun a va b sonlar uchun Evklid algoritmini qo`llaymiz :
Bu tengliklarning birinchisidan quyidagini hosil qilish mumkin:
Ammo, (3.3) ning ikkinchi tengligidan
kelib chiqadi, shuning uchun
(3.3.) ning uchinchi tengligidan
ekanligidan
Bu jarayonni oxirigacha davom ettirib (Qo`shiluvchi !), biz osongina quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
Evklid algoritmi ma`nosiga ko`ra, (Agar qn birga teng bo`lsa, u holda soni ga teng bo`lib, ga qoldiqsiz bo`linishi kerak edi, ya`ni Evklid algoritmi bir qadam avval tugashi lozim edi. Demak, biz qn o`rniga ifodani qarashimiz, ya`ni ini oxiridan bitta avvalgi butun bo`lmagan qoldiq, 1—ni esa oxirgi qoldiq deb hisoblashimiz keark edi.
2. Biz ixtiyoriy ratsional kasrni uzluksiz kasrga yoyish mumkinligini ko`ryapmiz. Bunday yoyilmaning yagonaligini, ya`ni bir-biriga teng ikki kasr uchun mos to`liq bo`lmagan bo`linmalarining teng bo`lishini ko`rsataylik.
Buning uchun, ikkita w va w’ uzluksiz kasrlarni olaylik: Faraz qilaylik, va sonlar ularning to`liq bo`lmagan bo`linmalari bo`lsin. dan va x.k. ekanligini ko`rsatamiz. Haqiqatdan ham, w sonining butun qismi q, w’ sonining butun qismi q’ , shuning uchun . Shundan keyin w va w’ uzluksiz kasrlarni quyidagicha ko`rinishda ifodalash mumkin:
bu yerda lar yana uzluksiz kasrlar. hamda munosabatlardan ekanligi kelib chiqadi. Demak, sonlarning butun qismlari ham teng, ya`ni . Bu muloxazalarni (Qo`shiluvchi !) davom ettirib, va x.k. ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
3. Faraz qilaylik,
— biror uzluksiz kasr bo`lsin. Quyidagi sonlarni ko`raylik:
qisqarmaydigan ko`rinishda yozilgan bu kasrlarni uzluksiz ω kasrlarga mos kasrlar deb ataladi. Shuni ta`kidlaymizki, dan kasrga o`tish yoyilmadan qatnashadigan oxirgi to`liq bo`lmagan bo`linmani almashtirish orqali, ya`ni ni ga almashtiriladi. Xuddi aynan mana shu ma`noda mos kasrdan ω uzluksiz kasrga o`tish oxirgi to`liq bo`lmagan bo`linma ni , ya`ni mos to`liq bo`linma ga almashtirish orqali amalga oshiriladi.
4. Uzluksiz kasrlar nazariyasida quyidagi lemma muhim rol’ o`ynaydi.
Lemma. Ixtiyoriy uzluksiz (3.4) kasr uchun quyidagi munosabat o`rinli:
Bu tengliklarni k bo`yicha induksiya usuli bilan bir vaqtda isbotlaymiz.
Dastlub ularni k=1 uchun isbot qilamiz:
va sonlari o`zaro tub bo`lgani uchun kasr qisqarmaydi. Aniqlanishiga ko`ra kasr ham qisqaruvchan emas. Teng qisqarmaydigan kasrlarning surat va maxrajlari teng bo`ladi. Demak, mulohazamizni davom ettiramiz.
sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisi 2-bobning 10.p. ga ko`ra ga teng. Yana shu tasdiqqa ko`ra (q2,1), ya`ni 1 ga teng. Demak, (3.8) ning o`ng tomonidagi kasr qisqaruvchan emas va shu sababli
va
Quyidagi tenglikni osonlik bilan tekshirish mumkin:
Bu bilan induksitya asosi isbotlandi.
Faraz qilaylik, (3.5), (3.6) va (3.7) tengliklar o`rinli bo`lsin. Quyidagi mos kasrni ko`raylik:
dan ga o`tish ilgari kiritilgan eslatmaga ko`ra dagi ni bilan almashtirish orqali amalga oshiriladi. lar uchun ifodalarda qatnashmagani uchun quyidagi ifodani yoza olamiz:
yoki, (3.5) (3.6) induktiv farazlarni yodga olib, quyidagini hosil qilamiz:
(3.10) ning o`ng tomonida turgan kasrning qasqaruvchan emasligini isbotlaymiz. Buning uchun uning surat va maxrajining o`zaro tubligini ko`rsatish yetarli.
Faraz qilaylik, va sonlari biror Pk umumiy bo`luvchiga ega bo`lsin.
U holda quyidagi ifoda ham d ga bo`linadi:
Ammo, induktiv (3.7) taklifga ko`ra bu ifoda ga teng edi va shu sababli u d ga bo`linmaydi.
Shunday qilib, (3.10) ning o`ng tomoni qisqaruvchan emas. Bu esa (3.10) ikki qisqarmaydigan kasrlarning tengligi ekanligini anglatadi. Demak,
va
Induktiv o`tish isbotini tugatish uchun bizga
ekanligini ko`rsatish qoldi xalos. Xozirgina isbot qilingan tasdiqqa ko`ra
hamda (3.11) bevosita (3.7) induktiv farazdan kelib chiqadi.Shu bilan induktiv o`tish asoslandi va lemma to`laligicha isbotlandi.
Natija.
Bu natijaning isboti juda ham sodda.
Uzluksiz kasrlarning to`liq bo`lmagan bo`linmalari butun musbat sonlardan iborat bo`lgani uchun, isbotlangan lemmadan
kelib chiqadi.
5. Biz avvalgi punktda (3.10) tenglikdan (3.11) tenglikka o`tgan edik. Ammo, agar (3.10) dagi to`liq bo`lmagan bo`linmalarni to`liq bo`linma ga almashtirsak, Biz ω kasrga ega bo`lamiz:
Endi biz 2.p. da shakllantirilgan sonlarni uzluksiz kasrlarga aylantirishning yagonaligi haqidagi tasdiqni to`ldirishimiz mumkin.
Lemma: Faraz qilaylik, (3.14) da kasr oxiridan bitta avvalgi kasr, , kasrga mos keluvchi -kasr bo`lsin. U holda kasr ω kasrga mos keluvchi kasr buo`ladi, - esa mos to`liq bo`linma bo`ladi.
Isbot. kasrni uzluksiz kasrga yoyamiz.
Shartga ko`ra
edi, bu yerda -kasr ga mos keluvchi oxiridan uchinchi kasr. Bu formulada ni ga almashtirish bizni o`ng tomondan quyidagi munosabatga olib keladi:
Bu esa (3.14) ga ko`ra ω ga teng. Demak,
Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu yerda isbotlash jarayonida shart tilga olingani yo`q. Haqiqatdan ham undan (3.15) formulani yozishda foydalaniladi: bo`lgan xolda to`liq bo`lmagan bo`linma ni juda katta son bilan almashtirishga to`g’ri kelar edi.
6. 4.p. dagi lemmani birga teng bo`lgan to`liq bo`lmagan bo`linmali barcha uzluksiz kasrlarga tatbiq etamiz. Bunday kasrlar uchun quyidagi teorema o`rinli:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
