Reja kirish

1.1. FIBONACHCHI SONLARINING SODDA XOSSALARI

1. Dastlab, Fibonachchi sonlarining dastlabki n hadini hisoblaymiz. To`g’rirog’i, quyidagi formulani isbotlaymiz:

(1.1.)

Haqiqatdan ham, biz bilamizki,

Bu tengliklarni hadma-had qo`shib, quyidagi formulani hosil qilamiz:

Biz ekanligini esga olsak, bu formula uchun yetarli bo`ladi.

2. Toq nomerli Fibonachchi sonlarining yig’indisi uchun quyidagi formula o`rinli:

Bu formulani isbot qilish uchun quyidagicha yozib olamiz:

Bu tengliklarni hadma-had qo`shib, isbotlash kerak bo`lgan formulani hosil qilamiz.

3. Juft nomerli Fibonachchi sonlari uchun quyidagi munosabat o`rinli:

(1.3)

1-punktdagi ma`lumotlarga asosan

Bu tenglikdan hadma-had (1.2) ni ayiramiz:

Shu munosabatni isbot qilish kerak edi.

(1.3) ni (1.2) hadma-had ayirib, quyidagi formulaga kelamiz:

(1.4)

(1.4) ning har ikki tomoniga ni qo`shamiz:

(1.5)

(1.4) va (1.5) larni birlashtirib, ishora almashtiruvchi Fibonachchi sonlarining yig’indisini hosil qilamiz: i:

4. (1.1) va (1.2) formulalar tabiiy bo`lgan tengliklarni hadma—had qo`shish orqali keltirib chiqarilgan edi. Bu usulni qo`llash na’munasi bo`lib, yana dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yig’indisini topish formulasi ham xizmat qilishi mumkin:

(1.7)

Buning uchun

deylik. Quyidagi

tengliklarni hadma-had qo`shib, (1.7) formulani hosil qilamiz.

5. Fibonachchi sonlari o`rtasidagi ko`plab munosabatlarni to`liq Qo`shiluvchi metodi yordamida isbotlash qulay hisoblanadi.

To`liq Qo`shiluvchi metodining (shuningdek matematik Qo`shiluvchi metodi ham deyiladi) mohiyati quyidagicha: ixtiyoriy natural sonlar uchun biror tasdiqni isbotlashda, bu tasdiqning

a) 1 soni uchun o`rinli ekanligini isbotlash;

b) biror k soni uchun o`rinli deb qabul qilish;

s) k+1 soni uchun tasdiqning o`rinli ekanligini isbotlash

yetarli.

Ixtiyoriy natural soni uchun o`rinli bo`lgan tasdiqni intuktiv isbotlash ikkita bosqichdan iborat bo`ladi.

Birinchi qismda (odatda yetarlicha sodda bo`ladi) isbotlanayotgan tasdiqning bir soni uchun o`rinli ekanligi ko`rsatiladi. Bir soni uchun tasdiqning o`rinli ekanligini intuktsiya asosi deb ham ataladi. Ikkinchi qismda (odatda, murakkabroq bo`ladi) isbotlanayotgan tasdiqni biror n soni uchun o`rinli deb faraz qilinadi. Bu jarayon induktiv jarayon deb ataladi. Bu farazdan foydalanib, tasdiqni n+1 uchun o`rinli ekanligi keltirib chiqariladi. Isbotning ikkinchi qismi intuktiv o`tish deb ataladi.

Ayrim hollarda “n dan kichik barcha sonlardan n ga o`tish” qabulidagi induktiv mulohazadan ham foydalaniladi. Bu holda intuktsiya asosini isbotlashga ehtiyoj qolmaydi. Chunki, p=1 uchun tasdiqni isbotlash birdan kichik bo`lgan «barcha» butun musbat sonlardan (bunday sonning o`zi yo`q) birga o`tiladi.

6. Qo`shiluvchi metodini eng sodda hollarda Fibonachchi sonlarini aniqlashga tatbiq yetish mumkin. Uni biz yuqorida ko`rsatdikki, va sonlari va dan larga induktiv o`tishning rekkurent formulasi beriladi:

.

Hususan, bu formuladan kelib chiqadiki, agar biror sonlar ketma-ketligi ikkita birdan boshlanib, navbatdagi sonlar o`zidan avvalgi ikki sonning yig’indisiga teng bo`lsa, u holda bu ketma-ketlik Fibonachchi sonlari ketma-ketligi bo`ladi.

Na’muna sifatida “sakrovchi haqidagi masala” ni qarash mumkin. Uning g’oyasi quyidagicha.

Sakrovchi bitta yo`nalishda kataklarga ajratilgan polosadan sakrashi mumkin. U yoki qo`shni katakka yoki bitta katta tashlab, undan keyingisiga sakrashi mumkin. Sakrovchining n-1 katakka o`tishini necha xil usul bilan amalga oshirish mumkin? Hususan, birinchi katakdan n —chiga o`tishi uchin-chi? (Sakrash usullarini bir xil deyiladi, agar ularning har birida sakrovchi bitta kataklarda qayta bo`lishiga to`g’ri kelsa).

Izlanayotgan sonni x_n orqali belgilaylik. Ko`rinib turibdiki, x<sub>1</sub>=1. Chunki, birinchi katakdan birinchi katakka bitta usul bilan, ya`ni sakrashning yo`qligi bilan o`tiladi. Shuningdek, x₂=1 (birinchi katakdan ikkinchi katakka ham faqat bitta usul bilan o`tiladi) Sakrovchining maqsadi p+2-chi katakka o`tish bo`lsin. Bu maqsadga erishish yo`llarining umumiy soni x_p+2 ga teng. Ammo, boshidan boshlab, bu usulalr ikkita sinfga ajraladi: Ikkinchi katakka sakrashdan boshladigan va uchinchi katakka sakrashdan boshladigan sakrashlar. Ikkinchi katakdan sakrovchi n+2 katakka usul bilan o`tishi, uchinchidan esa ta usul bilan o`tishi mumkin. Shuning uchun, sonlar ketma-ketligi quyidagi rekkurent munosabatni qanoatlantiradi:

.

va bu sonlar Fibonachchi sonlari ketma-ketligi bilan ustma-ust tushadi: x_p=i_p.

7. Qo`shiluvchi yordamida quyidagi muhim formulani isbotlaymiz:

(1.8)

Bu formulani isbotlashni m bo`yicha Qo`shiluvchi lash orqali tashkil qilamiz. m=1 bo`lganda bu formula tarzda yoziladi va uning o`rinli ekanligi ko`rinib turibdi. m=2 bo`lganda ham (1.8) formula o`rinli, chunki

Shunday qilib, Qo`shiluvchi asosi isbotlandi. Induktiv o`tishni quyidagicha shaklda isbotlaymiz: faraz qilaylik, (1.8) formula m=k da hamda m=k+1 bo`lgan xollarda o`rinli bo`lsin. Biz bu munosabatning m=k+2 bo`lgan xolda o`rinli ekanligini isbotlaymiz.

Shunday qilib,

bo`lsin. Oxirgi ikki tenglikni hadma-had qo`shib, quyidagi formulani hosil qilamiz:

Shuni isbotlash talab qilingan edi.

(1.8) formulani osongina makrovchi haqidagi masalaga tatbiq etish mumkin.

Sakrovchining birinchi katakdan n+m katakka siljishlarining umumiy soni u_n+m ga teng. Bu usullar orasida sakrovchi n-chi katakda bo`lib sakraydigan xollari ham, bo`lmay sakraydigan xollari ham mavjud.

Birinchi sinfga oid sakrashlarda sakrovchi n-1 katakka yetib kelishi zarur (u bu ishni usul bilan amalga oshirishi mumkin). Shundan keyin u n+1 katakka sakraydi va qolgan kataklarga suriladi. (bu ish i_t ta usul bilan amalga oshiriladi). Demak, birinchi sinfdagi sakrashlar soni ga teng bo`ladi. Ikkinchi sinfdagi sakrashlar soni ham xuddi shu zaylda hisoblanadi. Sakrovchi n-chi katakka yetib kelishi kerak. Bu ishni ta usul bilan bajarish mumkin. Shundan keyin n+m –chi katakka o`tishi ( ta usullardan biri bilan) lozim. Shuning uchun, ikkinchi sinfda ta usul mavjud. (1.8) formula isbotlandi.

8. (1.8) formulada m=n desak,

(1.9)

Bu tenglikdan ko`rinib turibdiki, soni ga bo`linadi. bo`lgani uchun (1.9) formulani quyidagicha yozib olish mumkin:

yoki

.

ya`ni, tartib nomerlari orasidagi farq ikkiga teng bo`lgan ikkita Fibonachchi sonlari kvadratlarining ayirmasi yana Fibonachchi sonlari bo`ladi.

Xuddi shuningdek, m=2n desak,

ekanligini ko`rastish mumkin.

9. Bizga keyinchalik quyidagi formula kerak bo`ladi:

(1.10)

Bu formulani n bo`yicha Qo`shiluvchi usuli bilan isbotalymiz. n2 uchun (1.10) formulaning ko`rinishi

bo`ladi. Uning o`rinli ekanligi ko`rinib turibdi. Endi (1.10) formulani biror n uchun o`rinli ekanligi isbotlangan bo`lsin. Uning har ikki tomoniga ni qo`shamiz va quyidagi formulani hosil qilamiz:

Shu bilan induktiv o`tish asoslandi va (1.10) formula ixtiyoriy n soni uchun isbotlandi.

10. Fibonachchi sonlarining hozirgina isbotlangan xossasiga o`xshash, ularning yana quyidagi xossasini ham isbotlash mumkin:

11. Binomial koeffitsientlar deb ataluvchi sonlar ham Fibonachchi sonlari kabi qiziq sonlar toifasiga kiradi.

Binomial koeffitsientlar deb ko`rinishidagi ko`phad yoyilmasidagi koeffitsientlarga aytiladi:

. (1.11)

Tabiiyki, S_n barcha butun nomanfiy n hamda n dan katta bo`lmagan barcha k sonlari uchun bir qiymatli aniqlangan.

Binomial koeffitsientlardan foydalanish ko`plab matematik mulohazalarda qulay hisoblanadi. Ular bizga ham Fibonachchi sonlarini o`rganishda yordam beradi. Bundan tashqari, bu ikki хil toifadagi sonlarnin o`rtasidagi aloqani ochib berishga urinib ko`ramiz.

Dastlab, binomial koeffitsientlarning ayrim xossalarini aniqlaymiz.

(1.11) da n1 desak, ekanligini ko`rish mumkin. Bundan tashqari, quyidagi lemma ham o`rinli bo`ladi: