Reja kirish

(a, bc) soni (a, b) ga bo`linadi. Haqiqatdan ham, b hamda bc sonlar (a, b) ga bo`linadi; a ham tabiiy ravishda (a, b) ga bo`linadi. Demak, 4.-punktda isbotlangan xossaga ko`ra (a,bc) ham (a, b) ga bo`linadi. .

7. (ac, bc) = (a, b)c.

Isbot. Faraz qilaylik, (2.3) tenglik (a, b) ni topish jarayonini ifodalayotgan bo`lsin. Bu tengliklarning har birini hadma-had c ga ko`paytiramiz va Evklid algoritmini ac va bc ga qo`langan vaziyatga mos keladigan tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz. Bu holda oxirgi no’l bo`lmagan qoldiq c ga, ya`ni (a, b)c ga teng bo`ladi.

8. Agar (a, c)=1 bo`lsa, u holda (a, bc)= (a, b) bo`ladi. Haqiqatdan ham (a, bc) 6.p.-ga asosan (ab, bc) ning bo`luvchisi bo`ladi, ammo, 7.-p. ga ko`ra

Shunday qilib, b soni (a, bc) ga bo`linadi. Boshqa tomondan, (a, bc) soni a ning ham bo`luvchisi. Demak, 4.-p. dagi isbotlangani kabi (a, bc) (a, b) ning ham bo`luvchisi bo`ladi. .

Faraz qilaylik, bc soni a ga bo`linsin. Demak, (a, bc)=a. Agar bu xolda (a, c)=1 bo`lsa, avvalgi punktdagi kabi (a, b) =a, ya`ni b soni a ga bo`linadi.

Agar p— tub son bo`lsa, u xolda ixtiyoriy a soni yoki p ga bo`linadi, yoki u bilan o`zaro tub bo`ladi. Demak, agar ikki sonning ko`paytmasi p tub songa bo`linsa, u holda ko`paytuvchilarining hech bo`lmaganda bittasi p ga bo`linishi kerak bo`ladi. Qo`shiluvchi bo`yicha bu tasdiqni ixtiyoriy sondagi ko`paytuvchilarga tatbiq qilish mumkin.

9. Binomial koeffitsientlarning bo`linishi haqidagi masalani ko`raylik.

Teorema. Agar p — tub hamda k0 va kp bo`lsa, u holda ham p gu bo`linadi.

Isbot: Ma`lumki,

Aslida bu kasr butun songa teng bo`lgani uchun, uning surati maxrajiga bo`linishi lozim. Ammo, har bir ko`paytuvchi p dan kichik bo`lgani uchun p ga bo`linmaydi. Demak, p tub bo`lgani uchun ularning ko`paytmasi, ya`ni maxraj ham p ga bo`linmaydi. Bunday maxrajning p bilan o`zaro tubligi kelib chiqadi.

Kasrning suratini p va sonlarining ko`paytmasi sifatida qaraylik. Bu ko`paytma maxrajga bo`linadi. p soni maxraji bilan o`zaro tub bo`lganligi uchun, unga ikkinchi ko`paytuvchi bo`linishi kerak. Faraz qilaylik, bo`lsin. U xolda . Shuni isbotlash talab qilingan edi.

10. Agar c soni b ga bo`linsa, u xolda

Isbot. Faraz qilaylik, a va b sonlariga Evklid algoritmini qo`llash (2.3) tengliklar sistemasiga olib kelgan bo`lsin. Bu algoritmni va b sonlariga nisbatan qo`llaymiz. Shartga ko`ra, c soni b ga bo`linadi. U xolda Algoritmning birinchi qadami bizga

ni beradi. Algoritmning keyingi qadamlari (2.3) sistemaning navbatdagi tengliklarini beradi. Noldan farqli bo`lgan oxirgi qoldiq . Bu esa ekanligini anglatadi.

11. Teorema. Yonma-yon turgan Fibonachchi sonlari o`zaro tub.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik: va sonlar biror umumiy bo`luvchiga ega bo`lsin. U xolda ularning ayirmasi ham d ga bo`linadi, bo`lgani uchun ham d ga bo`linishi kerak. Xuddi shu usul (Qo`shiluvchi !) bilan va nihoyat larning ham d bo`linishini ko`rsatish mumkin va x.k. Ammo, edi va u ga bo`linmaydi. Yuzaga kelgan ziddiyat teoremani isbotlaydi.

12. Teorema. Quyidagi tenglik o`rinli:

Isbot. Aniqlik uchun bo`lsin. Bu sonlarga nisbatan Evklid algoritmini qo`llaymiz:

Demak, m va n sonlarining eng katta umumiy bo`luvchisi ekan. Shunday qilib, Bu esa

yoki

yoki 1 va 10.p. larga asosan

yoki 11 va 8. p. larga asosan

Xuddi shu usul bilan quyidagi tengliklarni isbotlaymiz:

Hosil qilingan tengliklarni taqqoslab,

ifodani hosil qilamiz. son ga bo`lingani uchun bo`lishi kerak. ekanligini ta`kidlab, isbotni tugatamiz.

Bu teoremadan 1.p. da isbotlangan teoremaga qarshi teorema ham kelib chiqadi: Agar soni ga bo`linsa, u holda n ham m ga bo`linadi.

Haqiqatdan ham, agar soni ga bo`linsa, u xolda 4.p. ga ko`ra

(2.4)

Isbotlanganiga ko`ra esa,

(2.5)

(2.4) va (2.5) formulalarni taqqoslab,

formulani xosil qilamiz, ya`ni bu esa n ni m ga bo`linishini isbotlaydi.

13. p. 1 dagi teorema va p. 12 dagi teorema natijasini birlashtirib, hulosa qilish mumkinki, soni ga faqat va faqat n soni m soniga bo`lingandagina bo`linadi.

Buni e`tiborga olsak, nomerlarining bo`linishini hisobga olib, Fibonachchi sonlarining bo`linishi haqida mulohaza yuritish mumkin.

Fibonachchi sonlarining bir nechta bo`linish alomatlarini aniqlaymiz.

Fibonachchi sonlari juft bo`ladi, faqat va faqat uning nomeri 3 ga bo`linsa.

Fibonachchi sonlari 3 ga bo`linadi, faqat va faqat uning nomeri 4 ga bo`linsa.

Fibonachchi sonlari 4 ga bo`linadi, faqat va faqat uning nomeri 6 ga bo`linsa.

Fibonachchi sonlari 5 ga bo`linadi, faqat va faqat uning nomeri 5 ga bo`linsa.

Fibonachchi sonlari 7 ga bo`linadi, faqat va faqat uning nomeri 8 ga bo`linsa.

Fibonachchi sonlari 16 ga bo`linadi, faqat va faqat uning nomeri 12 ga bo`linsa.

Bu bo`linish alomatlarini isbotlashda shu punktning boshida keltirilgan ma`lumotlar va Fibonachchi sonlarining mos tartib nomerlaridan foydalanish mumkin.