Reja kirish

1.4. FIBONACHCHI SONLARI VA GEOMETRIYA

1. Birlik AB kesmani ikkita qismga (2-rasm) shunday ajratamizki, uning katta qismi kichik qismi va butun kesma uzunliklarining o`rta proporsionaliga teng bo`lsin.

2-rasm

Buning uchun izlanayotgan katta qismning uzunligini x orqali belgilaymiz. Bu xolda kichik qismning uzunligi 1-x teng bo`ladi va masalaning sharti bizga quyidagi proporsiyani beradi:

Bundan

(4.2) ning musbat ildizi ga teng bo`ladi. Shuning uchun (4.1) dagi proporsiyalarning har biri

ga teng. Bunday bo`lish (C<sub>1</sub> nuqta bilan) o`rta va chetki munosabatlarda bo`lish deb ataladi. Uni odatda oltin kesim deb ham yuritiladi.

Agar (4.20 kesmaning manfiy ildizini olsak, u xolda bo`luvchi nuqta AB kesmadan chetda yotadi (bunday bo`lish geometriyada chetki bbo`lish deb ataladi), biz buni 2-rasmdan ko`rib turibmiz. Bu yerda ham oltin kesim mavjudligini osongina ko`rsatish mumkin :

2. Oltin kesim bo`ladigan nuqtani osongina qurish mumkin.

3-rasm. 4-rasm

F

5-расм
araz qilaylik, bo`lsin. A nuqtadan perpendikulyar tushiramiz va bo`ladigan E nuqtani belgilaymiz (3-rasm). U xolda

E dan markaz sifatida foydalanib, A nuqtadan EB bilan D nuqtada kesishguncha yoy o`tkazamiz. Unda

Endi D nuqtadan markazi B da bo`lgan yoy o`tkazib, nuqtani topamiz. Tashqi bo`lish nuqtasi ni shartdan aniqlaymiz.

3. Oltin kesim geometriyaning juda ko`p qismlarida uchraydi. Masalan, yarim doiraga ichki chizilgan (4-rasm) kvadrat uchun C nuqta AB kesmani oltin kesim sifatida bo`ladi.

Ma`lumki, R radiusli doiraga ichki chizilgan muntazam o`nburchakning tomoni (5-rasm)

ga, ga teng.

ni xisoblaymiz. Trigonometriyadan ma`lum bo`lgan

formulalar asosida

deb yoza olamiz. bo`lanligi uchun, (4.3) dan

ekanligi kelib chiqadi va shuning uchun soni

yoki

tenglamalarning ildizlaridan biri bo`ladi.

Oxirgi tenglamaning chap tomonini ko`paytuvchilarga ajratamiz:

.

Undan topamiz:

soni ½ dan farqli musbat son bo`lgani uchun yoza olamizki,

Keyingi mulohazalarimiz uchun quyidagi formulani eslab qolamiz:

Shunday qilib,

Boshqacha aytganda, doiraning oltin kesim bilan bo`lingan radiusining katta qismiga teng.

A

6-расм
malda, ni hisoblashda  o`rniga yonma-yon turgan Fibonachchi sonlarini olib,  ni taqriban yoki deb hisoblash mumkin.

4. Muntazam beshburchakni qaraylik. Uning diagonallari yulduzsimon beshburchakni tashkil qiladi (6-rasm)

AFD burchak 108^o ga teng, ADF burchak esa 36^o. Demak, sinuslar teoremasiga ko`ra



bo`lgani uchun

bo`lishi kerak va C nuqta AD kesmani oltin kesim bilan bo`ladi.

Ammo, bu xolda oltin kesim ta`rifiga ko`ra



ekanligini e`tiborga olsak,

Shunday qilib, kesmalarning har biri avvalgisidan  marta katta hamda

5

7-расм
. Tomonlari a va b bo`lgan to`g’ri to`rtburchak olamiz va unga mumkin bo`lgan eng katta kvadratlarni ichki chizamiz (7-rasm).

2

8-расм
-bobning 5.p. dagi mulohazalar bunday jarayon butun a va b sonlar uchun qo`llangan Evklid algoritmiga mos keladi. Bu holda bir хil o`lchamga ega bo`lgan kvadratlarning soni to`liq bo`lmagan bo`linmalar ni uzluksiz kasrlarga yoyilmasiga mos keladi.

Agar to`g’ri to`rtburchakni tomonlari yonma-yon turgan Fibonachchi sonlari proporsiyasiga mos bo`lgan kvadratlarga ajratsak (8-rasm), u xolda 3-bobning 5.p. asosida eng kichik kvadratlardan tashqari barcha kvadratlar turli хil bo`ladi.

Bu kvadratlarning tomonlari mos ravishda bo`lgani uchun, ularning umumiy yuzasi quyidagicha bo`ladi:

Bu esa biz bo`layotgan to`g’ri to`rtburchakning yuzi bo`lib, ga teng.

Shunday qilib, ixtiyoriy n soni uchun

Va biz bu bilan 1-bobning 4.p. dagi tasdiqning geometrik isbotini oldik.

6


9-расм
. Endi to`g’ri to`rtburchakning tomonlari  munosabatda bo`lsin. (bunday to`g’ri to`rtburchaklarni qisqalik uchun oltin kesimli to`g’ri to`rtburchak deb ataymiz). Oltin kesimli to`g’ri to`rtburchakka mumkin bo`lgan eng katta kvadratni ichki chizib, biz yana oltin kesimli to`g’ri to`rtburchakka ega bo`lamiz.

Haqiqatdan ham, AEDF – kvadrat bo`lganligidan shartga ko`ra

Demak,

Ammo, edi, shuning uchun

10-rasmda oltin kesimli to`g’ri to`rtburchakni qanday qilib, I, II. III kvadratlarga ajratilgani ko`rastilgan. Bundla har bir navbatdagi kvadrat ichki chizilganidan keyin oltin kesimli figuraning qolishi tasvirlangan.

S


10-расм 11-расм
huni alohida ta`kidlash joizki, agar kvadratga I , so`ngra II va III oltin kesimli to`g’ri to`rtburchak-lar 10 va 11-rasmdagidek ichki chizilsa, u xolda qolgan to`g’ri to`rtburchak ham oltin kesimli bo`ladi.

7

12-расм
. Oltin kesimli to`g’ri to`rtburchaklarga o`xshash, oltin kesimli uchburchaklar (o`tkir burchakli, ya`ni burchaklari 36<sup>o</sup>, 72<sup>o</sup> va 72<sup>o</sup> hamda o`tmas burchakli, ya`ni burchaklari 108^o, 36^o va 36^o) haqida ham fikr yuritish mumkin. 12-rasmda oltin kesimli uchburchak qanday qilib uchta kichik oltin kesimli uchburchakka ajratilayotgani ifodalangan.

8. Tabiat bizga Fibonachchi sonlari bilan ifodalash mumkin bo`lgan bir jinsli predmetlar joylashuviga doir ko`p sonli misollar taqdim etgan.

O`simliklarning mayda qismlarining turli shalkdagi spiralsimon joylashuvida spirallar oilasining ikki vakilini ko`rish mumkin. Ularning birida spiral soat strelkasi bo`yicha o`raladi, ikkinchisida esa unga teskari yo`nalishda o`raladi. Spirallar soni yonma-yon jolylashgan Fibonachchi sonlariga teng bo`lar ekan.

Yosh qarag’ay shoxchasini olib, butoqlarni o`ngdan chapga, chapdan yuqoriga qarab joylashganligini osongina ko`rish mumkin. Shu bilan birga ular chap quyidan o`ng yuqori tarafga qarab yo`nalgan 3 ta spiralni tashkil qiladi.

Ko`plab urug’larning yumshoq qobiqlarida (ya`ni “tangachalarida”) uchta spirallar joylashgan bo`aldi. Yirik yong’oqlarida 5 ta, 8 va 13 ta spirallarning joylashganligiga guvoh bo`lish mumkin. Ananasdagi 8 va 13 ta spirallar ham aniq ko`rinib turadi.

Ko`plab murakkabguldoshlarda ham (margaritka yoki romashka) alohida olingan gullarning spiralsimon joylashuvchini ko`rish mumkin. Bu yerda spirallar soni bir yo`nalishda 13 ta, unga teskari yo`nalishda esa 21 (yoki mos ravishda 21 va 34 ta) bo`lishi mumkin. Ayniqsa, yirik kungaboqar savatchasida ko`plab spirallarni ko`rish mumkin. Ularning soni har bir yo`nalishda mos ravishda 55 va 89 ta bo`lishi mumkin.

9. Oltin kesimli to`g’ri to`rtburchaklar “proporsional” sifatida va chiroyli ko`rinadi. Bunday ko`rinishga ega bo`lgan buyulardan foydalanish kishi uchun juda ham qulay. Shuning uchun kundalik ehtiyoj buyumlarining ko`pchiligiga (kitob, gugurt qutisi, chemodan va b.) ana shunday shakl beriladi. Masalan, kitoblarning asosiy qismi uchun tomonlar 1,62 nisbatda, uning matn bilan to`ldirilgan qismining tomonlari esa 1,64 munosabatda bo`ladi.

Qadimgi va o`rta asrning turli faylasuf-idealistlar tomonidan oltin kesimli to`g’ri to`rtburchak va boshqa figuralarning go`zalligi ko`klarga ko`tarilib, ularga yestetik va hatto filosofik printsiplar ishlab chiqilgan. Oltin kesim va yana boshqa bir qator sonli munosabatlar yordamida tabiatning, va hatto jamiyatdagi hayotning ko`plab xodisalarini ifodalash, tavsiflash, tushuntirishga urinishgan, sonlarning o`ziga, ular oraisdagi ayrim munosabatlarga qandaydir “ilohiy” ruh baxsh etish gan. Tabiiyki, bunday usulda yaratilgan nazariyalarning fan uchun ortiqcha ahamiyati yo`q.

10. Fibonachchi sonlari turli geometrik konfiguratsiyadagi yo`llar tadqiqotida ham uchrab turar ekan. 13-rasmda keltirilgan yo`llar to`rini

13-rasm

ko`raylik. Bunday to`rlarni matematikada yo`naltirilgan Grafiklar deb yuritiladi. Strelkalar bo`ylab, harakatlanib, A yoki B nuqtadan nuqtaga borish yo`llari sonini aniqlash talab qilingan bo`lsin.

Mos ravishda bunday yo`llarni orqali belgilaymiz. Harakat boshlangan vaqtda A nuqtadan ham, B nuqtadan ham ga ikki хil usul bilan o`tish mumkin: og’ma qirra orqali hamda gorizontal qirra orqali. Demak,

Biz hamda ekanligini e`tiborga olsak, va bo`lishi ravshan bo`lib qoladi.

11. Navbatdagi masala yo`naltirilgan Grafikdagi yo`llar sonini emas, balki bu yo`llar ratsional usulda tanlashga bag’ishlangan.

«

14-расм.
TSzyan’ shi tszi» deb ataladigan musobaqa-o`yinni ko`raylik. Faraz qilaylik, ikki uyum buyumlar (masalan gugurt) berilgan bo`lsin. Ikki o`yinchi navbatma-navbat yoki bitta uyumdan ixtiyoriy sondagi buyumlarni olishi mumkin yoki har ikki uyumdan bir хil miqdordagi buyumlarni oladi. Oxirgi buyumni olgan o`yinchi g’olib sanaladi.

Bu o`yinga matematik tus beradigan bo`lsak, u 14-rasmda berilgan yo`naltirilgan Grafikikni ifodalaydi. Grafikni koordinatalar tekisligida berilgan bo`lsin deb faraz qilamiz. Har bir o`qdagi butun sonlarni uyumlardagi buyumlar soniga qiyoslash mumkin. O`yinning boshlang’ich vaziyatida fishkalarni grafikning mos uchlariga (Masalan, (5, 3) nuqtaga) o`rnatilgan bo`lsin deylik. O`yin jarayonida o`yinchilar navbatma-navbat uchlarning bitta koordinatasini yoki har ikki o`q kooridantalarini bir xil miqdorga kamaytirishadi, ya`ni fishkalarni to`g’ri chiziq bo`ylab harakatlantirishadi. Chekli sondagi qadamlardan so`ng, fishka koordinatalar boshiga keladi va oxirgi harkatani amalga oshirgan o`yinchi yutadi. Qisqalik uchun bu o`yinni G, grafikni o`yinning grafiki, fishka turgan grafikning uchun navbat kimda ekanligi ko`rsatuvchi raqam bilan birgalikda o`yinning pozitsiyasi deb ataymiz.

Masalani hal qilish uchun biz quyidagi dasturni qabul qilamiz.

Birinchidan, G o`yin uchun yutuvchi pozitsiyani aniqlaymiz.

Ikkinchidan, barcha yutuvchi pozitsiyalarning biror sxemasini shakllantiramiz.

Uchinchidan, yutuvchi pozitsiyalarni Fibonachchi sonlari orqali ifodalaymiz.

To`rtinchidan, yutuvchi pozitsiyalar koordinatalarining Fibonachchi ko`rinishidan ularni oshkor ifodalovchi formulalarga o`tamiz.

12. Pozitsiyani yutuvchi deb ataymiz, agar unga fishkani qo`ygan o`yinchi ikkinchi o`yinchi nima qilishidan qat`iy nazar, o`zi uchun yutuqni kafolatlay olsa.

G o`yinda trivial misol bo`lib, (0,0) uch hisoblanadi. Bu uchga fishkangi surgan o`yinchi yutadi va uning raqibi hech narsa qila olmaydi.

Yutuvchi pozitsiyaga misol (1,2) uch bo`ladi. Raqib bu uchdan fishkani (0,2), (1,0) yoki (0, 1) uchlardan biriga surishga majbur. Har uch xolda ham bu uchlardan koordinata boshiga o`tish va yutish mumkin.

Shu punktning boshida aytilgan “raqib nima nima qilishidan qat`iy nazar” jumlasi o`yinchining “xulqi” tushunchasini kiritadi. Keyingi mulohazalarni osonlashtirish uchun bu tushunchani to`lif ifodalash lozim.

Faraz qilaylik, o`yin boshlanmasidan avval, har bir o`yinchi o`yinning rejasini tuzib olsin, ya`ni biror pozitsiyaga tushib qolsa, nima qilishi mumkinligini aniqlab olgan bo`lsin. Bunday rejani o`yinchining strategiyasi dab ataladi. Shunday qilib G o`yinda o`yinchining strategiyasi barcha pozitsiyalar to`plamida aniqlangan funktsiya bo`ladi. Bu funktsiyaning qiymati berilgan P pozitsiyadan turib o`tish mumkin bo`lgan ixtiyoriy pozitsiya bo`lishi mumkin. Har ikki o`yinchi o`z strategiyalarini tanlaganlaridan so`ng, fishka qaysi pozitsiyada turganligidan qat`iy nazar, o`yinning rivojlanishi oldindan ma`lum deb hisoblash mumkin. Yangi pozitsiyada yurish raaqibga beriladi va o`yinni o`zi tanlagan boshqa strategiya asosida davom yettiradi. Shunday qilib fishka grafik bo`ylab, ma`lum ir yo`lni bosib o`tadi.

G o`yindagi yutuvchi pozitsiya tushunchasini yanada aniqlashtiramiz: pozitsiya yutuvchi deyiladi, agar unga kelgan o`yinchi uchun raqibi qanday strategiya qo`llashidan qat`iy nazar, yutuqqa olib keluvchi strategiya mavjud bo`lsa.

Shuni alohida ta`kidlash kerakki, o`yinchi tomonidan yutuvchi pozitsiyaga kelib qolish unga “qo`l qovushtirib o`tirishni” kafolatlamaydi, balki uning yutishi uchun strategiya mavjudligini anglatadi xalos va strategiyaga qat`iy rioya etgan xoldagina u o`yinni yutishi mumkin.

Yutuvchi strategiya o`yinchini raqibning navbatdagi yurishidan keyin yana yutuvchi pozitsiyalardan biriga olib keladi. Agar o`yinchi yutuvchi strategiyadan chetlashsa, unda yutuvchi strategiya qolmasligi mumkin.

Shunday qilib, biz yutuvchi pozitsiya tushunchasini aniqladik. Ammo, bunday pozitsiyalar ko`p bo`lishi mumkin. Shuning uchun uni to`la aniqlashda qolgan yutuvchi pozitsiyalarni ham qarab chiqish lozim. Shuning uchun yutuvchi pozitsiyalar to`plami haqida mulohaza yuritish maqsadga muvofiq bo`ladi.

13. G Grafikdagi o`yinning pozitsiyalar to`plami R ni ko`raylik. U quyidagi hossalarga ega bo`lishi yoki bo`lmasligi mumkin:

1^o. R ga tegishli bo`lgan ixtiyoriy pozitsiyadan yurish R dan chetga chiqadi. Pozitsiyalar to`plamining bunday xossasi uning ichki turg’unligi deb ataladi.

2°. R ga tegishli bo`lmagan ixtiyoriy pozitsiya uchun R dagi pozitsiyaga olib keluvchi yurish mavjud bo`ladi. R ning bu hususiyati uning tashqi turg’unligi leb ataladi.

Yo`naltirilgan grafikdagi bir vaqtda ham ichki, ham tashqi turg’un bo`lgan pozitsiyalar to`plami grafik uchlari bo`ylab navbatma-navbat suriladigan o`yinlarda katta ahamiyatga ega. Bunday to`plamlarni shu o`yinning yechimi (shu vaqtning o`zida grafikning ham yechimi) deyiladi. Agar o`yin davomida fishka yechimga tegishli pozitsiyaga tushib qolsa, u holda navbatdagi yurish egasi bo`lgan o`yinchi keyingi yurishlarda “echimdan qochishga” harakat qilishga majbur: u nima qilishidan qat`iy nazar, ichki turg’unlik xossasiga ko`ra, u fishkani yechimdan chetga olib chiqadi, ammo, tashqi turg’unlik xossasiga ko`ra, uning raqibi fishkani yana yechimga qaytarishga muvaffaq bo`ladi.

Biz ko`rayotgan G o`yinning ixtiyoriy partiyasi fishkani koordinatalar boshiga olib kelish bilan tugaydi va bu ishni uddalagan o`yinchi yutadi. Demak, agar o`yinning yechimi koordinatalar boshini o`z ichiga olsa, fishkasi yurish navbati shu yechimga tegishli pozitsiyalardan birida turgan o`yinchi yutadi. Bundan yechim yutuvchi pozitsiyalardan iborat bo`lishi kelib chiqadi.

14. Dastlab, bunday yechimning yagonaligini aniqlaymiz.

Lemma. G o`yin uchun koordintalar boshini o`z ichiga oluvchi bittadan ortiq bo`lmagan yechim mavjud.

Isbot: Faraz qilaylik, lemmaga zid ravishda ikkita R va S yechimlar mavjud bo`lsin. Bunda S ga tegishli bo`lgan biror s₁ pozitsiya R ga tegishli bo`lmaydi. R tashqi turg’un bo`lganligidan, s₁ pozitsiyadan R dagi biror pozitsiyaga o`tish mumkin. Demak, S ning tashqi turg’unligidan biz pozitsiyadan S ning pozitsiyasiga o`tishimiz mumkin. Bu pozitsiya R ning tashqi turg’unligidan R ga tegishli bo`la olmaydi. Bu jarayonni uzoq davom ettirib, biz . Pozitsiyalar ketma-ketligini hosil qilamiz. Bu ketma-ketlik koordinatalar boshi bilan tugaydi va har bir pozitsiya R yoki S yechimlardan biriga tegishli bo`ladi. Demak, koordinatalar boshi faqat R ga yokit faqat S ga tegishli bo`lishi kerak. Bu ziddiyat lemmani isbotlaydi.

15. Определяюшее, "характеристическое" свойство решения игри Р, содержашего начало координат, описивается

следуюшей теоремой.Teorema. Faraz qilaylik, G o`yindagi pozitsiyalar to`plami R quyidagi xossalarga ega bo`lsin:

1) (0, 0) pozitsiya R ga tegishli;

2) agar (a, b) R ga tegishli bo`lsa, u xolda (b, a)' ham R ga tegishli;

3) ixtiyoriy natural a uchun shunday b natural son topiladiki, (a, b) pozitsiya R ga tegishli bo`ladi;

4) ixtiyoriy natural d uchun a-b=d shart o`rinli bo`ladigan faqat bitta (a, b) sonlar juftligi mavjud;

5) agar (a, b) va (k, l) pozitsiyalar R ga tegishli bo`lib, a< k va b <l.