Reja kirish

U xolda R to`plam G o`yinning yechimi bo`ladi.

Isbot. 3) dan har bir natural soni faqat bitta simmetrik juftlik (2-shartga ko`ra) dagi koordinata bo`la oladi.

R to`plamning ichki va tashqi turg’unlik xususiyatlarini aniqlaylik.

a) Ichki turg’unlik. (a, b) pozitsiya R ga tegishli bo`lsin. Agar a yoki b ni kamaytirilsa, u xolda b bilan (mos ravishda a bilan) bog’langan va R ga tegishli bo`lmagan juftlik hosil bo`ladi. Agar a va b larni bir vaqtda kamaytirilsa, (a, b) dan farq qiluvchi va R ga tegishli bo`lmagan juftlik hosil bo`ladi.

b) Tashqi turg’unlik. (a, b) pozitsiya R ga tegishli bo`lmasin.

Agar a=b bo`lsa, u holda bu uchdan (0,0) uchga tushish mumkin. Bu uch esa 1) ga ko`ra R ga tegishli.

Agar bo`lsa, u holda 3) bo`yicha shunday c son topiladiki, R ga tegishli bo`ladi, 4) bo`yicha esa shunday k va l topiladiki, hamda (k, l) pozitsiya R ga tegishli bo`aldi. U holda bo`lganda (a, b) dan (a, c) ga b kamaytirib, o`tish mumkin, bo`lganda esa bo`ladi va shuning uchun 5) bo`yicha va bo`lishi kerak. (a, b) koordinatalarning har birini miqdorga kamaytirish bizga (k, l) pozitsiyani beradi.

Qo`sh turg’unlik isbotlandi va R yechim bo`ladi.

16. Endi G o`yinning (0, 0) ni o`z ichga oluvchi R yechimini qurish jarayoni bilan shug’ullanamiz.

(0, 0) pozitsiyadan boshlab, pozitsiyalarni yozib chiqamiz:

Bu yerda lar uchun . ni (4.4) da ishtirok etmagan sonlarning eng kichigi va deb olamiz.

Amalda bu jarayon quyidagi pozitsiyalarga olib keladi:

Bu to`plamni tashkil etuvchi pozitsiyalar 15-rasmdagidek, deyarli ikkita n

15-расм
urlarda joylashgan.

Olingan pozitsiyalar sistemasi qurilishiga ko`ra 1)-5) shartlarni qanoatlantiradi. Demak, u o`yinning yechimi hamda 14.p. ga ko`ra yagona yechimi bo`ladi.

Amalda, biz qo`yilgan masalani hal qildik. R to`plam bir qiymatli aniqlangan bo`lsada, ko`rinishi chiroyli emas. Uni boshqacha ifodalaymiz.

17. Faraz qilaylik, F(g) natural t sonini Fibonachchi ko`rinishi bo`lsin. Har bir sonning Fibonachchi ko`rinishidagi oxirgi raqami bir nechta nollardan iborat deb qarash mumkin (agar bunday nollar bo`lmasa, ularning soni nolga teng). Barcha musbat sonlarni ikkita sinfga ajratamiz: Fibonachchi ko`rinishida juft sondagi va toq sondagi nollari bor sonlar. Ikkinchi sinfga kirgan sonlarning har biri birinchi sinfga kirgan sonlardan faqat bittasining Fibonachchi ko`rinishiga o`ng tomondagi bitta nol qo`shib yozish orqali hosil qilinishi mumkin. Shunday qilib, nat ural sonlarni juftliklarga birlashtirish mumkin. Barcha ana shunday (a, b) juftliklar (ular birga ularga simmetrik juftliklar ham) (0, 0) juftlik bilan birga 15.p. dagi teorema shartlarini qanoatlantiradi va G o`yinnning yechimini tashkil qiladi.

1)—3) shartlar tabiiy ravishda o`rinli bo`ladi. O`zimiz tashkil qilgan juftliklarni qaraymiz va d ayirmaning qiymati faqat bir marta uchrashini ko`rsatamiz. So`ngra, sonlarning Fibonachchi ko`rinishidan foydalanib, fibonachchi raqamlarini quyi razryadlardan yuqoriga qarab nomerlaymiz, ya`ni sonlarning Fibonachchi ko`rinishini shaklida yozib olamiz (bu yerda son oldidagi koeffitsient) .

Agar Fibonachchi ko`rinishi

toq sondagi nollar bilan tugasa, u xolda a va b larni quyidagicha Fibonachchi ko`rinishida olamiz:

Ma`lumki,

Agar F(d) juft sondagi nollar bilan tugasa: hamda bo`lsa, u holda

deb olamiz va hisoblaymiz:

yoki (1.2) formuladan foydalansak,

Farqi d ga teng bo`lgan juftlikning yagonaligini tekshiramiz.

Agar F(d) ning oxirida toq sondagi nollar mavjud bo`lsa, u holda boshqa (a, b) juftlik va bu sonlarning Fibonachchi ko`rinishi (4.6) bshqacha bo`lishi kerak edi; ammo bu xolda F(d) ham boshqacha bo`lishi kerak edi, shuningdek Fibonachchi ko`rinishining yagonaligi tufaayli d ham boshqacha bo`lishi kerak edi..

F(d) ning oxirida juft sondagi nollar kelgan holat anchagina sodda. Faraz qilaylik, sonning

ko`rinishi roppa-rosa 2m ta nol bilan tugagan bo`lsin:

Bu xolda

(4.8)

d ni ko`rinishida yozib olamiz. Bu yerda F(a) ning oxirida juft sondagi nollar mavjud, F(b) esa F(a) ning o`ng tomoniga yana bitta nolni qo`shib yozib hosil qilinadi.

Faraz qilaylik,

U xolda

Agar bu vaqtda bo`lsa, u xolda son d sonning Fibonachchi ko`rinishi bo`ladi. bunday ko`rinishninng yagonaligi tufayli uning raqamlari (4.8) dagi raqamlar bilan ustma-ust tushishi kerak. Shuningdek,

bo`lishi ham lozim, ya`ni a sonning Fibonachchi ko`rinishi toq sondagi nollar bilan tugayapti. Bu esa a va b sonlarning tanlanishiga zid. Demak, Ammo, bu holda

hamda

Boshqa tomondan, (4.8) dan

ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun

Fibonachchi ko`rinishlarining yagonaligi (4.10) bilan birgalikda

ekanligin anglatadi. Bundan tashqari, yuqorida ko`rastilganidek edi. Demak, a ham b ham (4.7) ko`rinishda bo`lishi shart.

Bu esa 4) shartning o`rinli ekanigini anglatadi.

Pozitsiyalar koordinatalari faaqrlarining o`sishi bilan koordinatlalarning o`zini ham o`sishi talab qilinadi. Bu esa 5) shartning o`rinli ekanligini bildiradi.

Shunday qilib, qurilgan sonlar juftliklari G o`yinning (0, 0) nuqtani o`z ichiga oluvchi yechimi bo`ladi. bunday yechimnigg yagonalignning isbotiga u 16.p. dagi natija bilan ustma-ust tushishi kerak.

Sonlarning Fibonachchi ko`ri nishi har bir natural son uchun unga juft bo`lgan sonni bevosita ko`rastishi mumkin. Masalan, 31 soniga juft topamiz. Buning uchun F(31)=1010010 deb yozamiz. Bu ifoda bitta nol bilan tugayapti. Demak, bu songa juft topish uchun oxirgi nolni tashlabyu yuboramiz, ya`ni 101001 ga ega bo`lamiz. Bu son 13+5+1 sonining fibonachchi ko`rinishi bo`ladi.