Reja: Aniq integral tushunchasi Aniq integralning xossalari N`yuton-Leybnis formulasi Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash Aniq integralni bo`laklab integrallash Aniq integral tushunchasi

2-misol. Hisoblang: .

Yechilishi: Integralni hisoblashni yuqoridagi bosqichlar asosida, ya`ni (7) formulani qo`llash orqali bajaramiz:



3-misol. Integralni hisoblang:

Yechilishi: Aniq integralning 3- xossasiga asosan berilgan integralni ikki qismga ajratamiz va Nyuton –Leybnis formulasidan foydalanib, hisoblaymiz:



Mustaqil yechish uchun mashqlar.

№1. №7.

№2. №8.

№3. №9.

№4. №10.

№5. №11.

№6. №12.
O`rta qiymat haqidagi teorema

Teorema. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda, shu kesmada shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun

(1)

tenglik o`rinli bo`ladi.

Isboti: Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati va eng kichik qiymati bo`lsin, ya`ni

. (2)

da (2) tengsizlikni integrallaymiz:

Bundan, (3)

(3)ni ga hadma – had bo`lamiz:

. (4)

Berilgan funksiya da uzluksiz bo`lganligi uchun qo`yi va yuqori chegara oralig`idagi (ya`ni [ , ]) istalgan qiymatni qabul qiladi. U holda, da shunday nuqta mavjud bo`ladiki, bo`lishini ta`minlaydi. Bu esa (1) formuladan iborat. Teorema isbot bo`ldi.

4. Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish (o`rniga qo`yish) usuli bilan hisoblash

Aniqmas integralni o`zgaruvchini almashtirish usulida yechishdan ma`lumki, agar integrallash qoidalari, xossalari yoki formulalar yordamida integrallash qiyinlik tug`dirsa integral ostidagi funksiyaga yangi o`zgaruvchi kiritish lozim. Aniq integralni hisoblashda ham shu usul qo`llaniladi.

ni o`zgaruvchini almashtirish usulida hisoblash talab qilinsin. Yangi o`zgaruvchini kiritaylik. U holda, funksiya kesmada uzluksiz va differensiallanuvchi bo`lsin. Agarda o`zgaruvchi kesmada o`zgarganda o`zgaruvchi da o`zgarsa, ya`ni hamda murakkab funksiya kesmada uzluksiz va aniqlangan bo`lsa, quyidagi formula o`rinli bo`ladi:

(1)

(1) formulaga o`zgaruvchini almashtirish usulida integral formulasi deyiladi.

funksiya ning boshlang`ichi bo`lsin. U holda, funksiya ning boshlang`ichi bo`ladi. Shuning uchun

Demak, (1) formula hosil bo`ldi.

Yuqoridagilarni umumlashtirib, o`zgaruvchini almashtirish usulida integrallashni quyidagi ketma – ketlikda bajarish tavsiya qilinadi:

1. 
   Imkoni bo`lsa, integral ostida berilgan ifodani soddalashtirish.
   
2. 
   Yangi o`zgaruvchini kiritish ( ).
   
3. 
   Integralning yangi chegaralarini aniqlash.
   
4. 
   Hosil bo`lgan integralni hisoblash.
   

1.