Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

2-t e o r e m a. Agar - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u xolda ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona ortogonal proektsiyaga ega.

Isbot. ning biror ortonormal bazisini olamiz. U xolda



vektor x vektorning V₁ ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir uchun



Demak, . SHuning uchun xar qanday vektor uchun

Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.

Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, fazoda evklid metrikasida e<sup>t</sup> uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi kelib chiqadi.

Misol ko`ramiz. Ushbu



ko`rinishdagi xar qanday funktsiya n darajali trigonometrik ko`pxad deb ataladi. Darajasi barcha trigonometrik ko`pxadlar fazoning o`lchamli T qismfazosini xosil qiladi. YUqorida ko`rilgan ushbu



tizim bu qismfazoning ortonormal bazisini xosil qiladi.

Agar funktsiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u xolda 2-teoremaning isbotida ko`rsatilganiga ko`ra, uning qismfazoga ortogonal proektsiyasi (ya`ni evklid metrikasida bu funktsiyaga eng yaqin bo`lgan trigonometrik ko`pxad)

ko`pxaddir, bu erda

Bu tengliklar bilan aniqlangan va koeffitsientlar funktsiyaning Fur’e koeffitsientlari deyiladi.