2.3-§. Unitar fazolar
Unitar fazo - evklid fazosining kompleks ko`rinishi.
Ta`rif. Agar V kompleks chiziqli fazoda ikki vektor argumentli (x,y) kompleks qiymatli funktsiya uchun ushbu:
1)xar qanday uchun
2)xar qanday uchun
3)xar qanday uchun
4)xar qanday nol`dan farqli vektor uchun shartlar bajarilsa, u V kompleks chiziqli fazodagi skalyar ko`paytma deb ataladi. Skalyar ko`paytma aniq-langan V kompleks chiziqli fazo esa unitar deb ataladi.
Ravshanki, unitar fazoning xar qanday qismfazosi xam unitar fazo.
Ikkinchi va uchinchi shartlar skalyar ko`paytma birinchi argumenti bo`yicha chiziqli ekanligini ko`rsatadi. Bundan va birinchi shartdan ikkinchi argumenti bo`yicha 2-turchiziqli ekanligi, ya`ni
shartlarning xar qanday uchun bajarilishi kelib chiqadi (isbotlang). Bularga ko`ra, unitar fazodagi skalyar ko`paytma ermit formasi bo`lib, unga mos kvadratik forma musbat.
Misol ko`ramiz. Agar fazoda va skalyar ko`paytmani
tenglik bilan kiritsak, unitar fazoga aylanadi (tekshiring).
Evklid fazosidagi kabi unitar fazoda xam, Gram determinanti tushunchasi kiritiladi va vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lsa, ularning Gram determinanti musbat ekanligi va aks xolda - nol’ga teng ekanligi isbotlanadi. Bu teoremani ikkita vektordan iborat tizimga tatbiq qilib, unitar fazo uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini olamiz. Unitar fazoda bu tengsizlikning ko`rinishi quyidagicha:
Unitar fazoda vektorning uzunligi xuddi evklid fazodagidek ta`riflanadi: uchun
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan V unitar fazoning xar qanday x,y vektorlari uchun tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu evklid fazodagi kabi unitar fazoda ushbu tenglik orqali metrika kiritishga imkon beradi.
Unitar fazoda ikkita vevstor orasidagi burchak tushunchasi kiritilmaydi, am
mo ortogonallik tushunchasi kiritiladi: agar unitar fazodagi nol’dan farqli ikkita vektorning skalyar ko`paytmasi nol’ga teng bo`lsa, ular ortogonal deb ataladi. Ortogonal va ortonormal tizim tushunchalari xuddi evklid fazosidagidek kiritiladi.
Unitar fazoda ortonormal bazislarning mavjudligi ermit formalar xaqidagi teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Agar V unitar fazoda ortonormal tizim berilgan va
Bu fazodagi vektorlar bo`lsa, evklid fazodagi kabi, ushbu
tengliklarni olamiz.
Bu paragrafdagi keltirilgan teoremalarning isbotlarini mustaqil bajarish tavsiya qilinadi.
Xulosa
Bizga ma’lumki funksiyaning vektor fazo analitik geometriya fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa ortogonallashtirish va ortonormallashtirish jarayoni salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Vektorlar ustidaa ortogonallashtirish va ortonormallashtirish amalini bajara olish – matematik analiz asoslari fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Men kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o’rgandim:
Chiziqli fazolar.
Chiziqli fazoning qism fazosi.
Chiziqli normallangan fazolar.
Normallangan fazoning qism fazosi.
Ortogonal va ortonormal tizimlar.
Ortogonal proyeksiyalar.
Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida funksiya chiziqli fazoning ta’rifi, chiziqli (vektor) fazolarga doir teoremalar va ularning isbotlari, chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazo, chiziqli normallangan fazolarga doir ko’plab misollar, ortogonal va ortonormal tizimlar va ularning tatbiqlari bilan tanishib chiqdim.
Do'stlaringiz bilan baham: |