Речной гидродинамики

2.3.1. Метод Годунова
Перепишем двумерные уравнения мелкой воды (1.2.26) в векторном 
виде:
(2.3.1)
Для простоты будем рассматривать случай без трения и диффузионных 
членов.
Дискретизация уравнений
проводится методом конечных объемов. 
Представим область, в которой ищется решение, в виде объединения яче-
ек – треугольников и выпуклых четырехугольников (вопросы построения 
54
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

расчетных сеток обсуждаются в п. 4.3). Рассмотрим процедуру пересчета 
на новый временной слой в одной ячейке – с координатами центра (
x
0
, 
y
0
), 
площадью 
σ
, множествами номеров соседних ячеек 
E
, длинами ребер 
e
k
и 
внешними нормалями 
n
k
= (
n
k
x
, 
n
k
y
)
T
к этим ребрам, здесь 
k
∈
E
– номер со-
седней ячейки. На временном слое 
n
значения 
b
(
x
), 
h
n
(
x
), 
u
n
(
x
), 
n
(
x
) внутри 
ячейки определяются с помощью линейной реконструкции:
(2.3.2)
индекс 0 указывает, что значение берется в центре ячейки. Наклоны (
T
*
x
)
n
, 
(
T
*
y
)
n
находятся по значениям в соседних ячейках методом наименьших ква-
дратов в сочетании со стандартными ограничителями 
φ
(
r
), позволяющими 
исключить нефизичные осцилляции в схеме повышенного порядка. Приве-
дем три примера выражений для 
φ
:
φ
minmod
(
r
) = max [0, min (1, 
r
)],
φ
superbee
(
r
) = max [min (1,2
r
), min (2, 
r
)], (2.3.3)
φ
MC
(
r
) = max [0, min (2
r
, 2,(1+r)/2)].
Итоговое значение тангенса вычисляется по формуле 
T
= min
kφ
(
T
k
/ ), где 
T
k
– локальный тангенс, определяемый по значению функции в центре со-
седней ячейки; – тангенс, полученный методом наименьших квадратов. 
Значение вектора неизвестных в точке