Речной гидродинамики

Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

(2.3.5)
Это выражение точное и получается из рассмотрения трех ситуаций, 
изображенных на Рис. 2.3.1. В случае, когда ячейка четырехугольная, ана-
логичное выражение можно получить, если представить четырехугольник 
в виде объединения двух треугольников и применить формулу (2.3.5) для 
каждого из них. Алгоритм пересчета уровня на новый временной слой 
следующий:
1) рассчитываются распадные значения скорости и глубины на границах 
ячейки;
2) по ним из закона сохранения массы определяется изменение объема 
Δ
V
в ячейке;
3) по формуле (2.3.5) вычисляется объем жидкости в ячейке на преды-
дущем временном слое 
V
n
= 
V
(
z
0
n
) (если ячейка четырехугольная, то 
V
n
= 
V
1
(
z
0
n
) + 
V
2
(
z
0
n
), где функции 
V
1
(
z
0
) и 
V
2
(
z
0
) – аналоги (2.3.5) на двух треуголь-
никах, которые составляют четырехугольную ячейку);
4) объем на новом временном слое 
V
(
n
+1)
= 
V
n
+ Δ
V
;
5) уровень жидкости 
z
0
(
n
+1)
на новом временном слое находится из урав-
нения (2.3.5) 
V
(
z
0
(
n
+1)
) = 
V
(
n
+1)
(если ячейка четырехугольная, то задача сво-
дится к решению уравнения 
V
1
(
z
0
(
n
+1)
) + 
V
2
(
z
0
(
n
+1)
) = 
V
(
n
+1)
), которое является 
кубическим при 
z
0
< 
b
3
. Корень уравнения определяется однозначно.
Описанный алгоритм допускает ситуации, когда уровень 
z
0
меньше отмет-
ки дна 
b
0
в центре ячейки, поэтому глубина 
h
0
= 
z
0
˗ 
b
0
может быть отрицатель-
ной. Введение отрицательных глубин позволяет автоматически избежать не-
физических потоков со стороны сухих ячеек, о которых говорится в [Huang, 
Zhang, Pei, 2013; Liang, Borthwick, 2009], без дополнительных действий.
В экспериментах движение вблизи фронта соответствует прерывным 
волнам [Букреев и др., 2004]. С другой стороны, в рамках уравнений мелкой 
воды движение по сухому дну происходит с примыкающей к фронту вол-
ной Римана, распространение волны с разрывом параметров на фронте не 
допускается, что может приводить, в частности, к ошибкам в определении 
скорости движения волны. Поэтому при решении задач, где предъявляют-
ся высокие требования к моделированию процессов движения жидкости по 
сухому дну, необходимо вносить изменения в используемую модель. На-
пример, в работе [Остапенко, 2007] предлагается модификация уравнений 
мелкой воды, которая допускает распространение прерывных волн и хоро-
шо согласуется с экспериментальными данными при подходящем выборе 
свободного параметра, определяемого из эксперимента.