Рациональное число. Множество рациональных чисел Что такое ломаное число? 3

22. Об измерении земного меридиана Эратосфеном

Одна из первых попыток измерения земного меридиана была предпринята задолго до Деламбра и Мешена древнегреческим ученым Эратосфеном, автором «решета» для нахождения простых чисел.

Эратосфен измерил расстояние между двумя египетскими го­родами, Александрией и Сиеной, лежащими почти на одном ме­ридиане, и нашел его равным 5000 стадий (греческий стадий был равен приблизительно 192 м). Затем он установил, что во время летнего солнцестояния, когда в Сиене Солнце стоит как раз в зените, оно в Александрии отклоняется на 1/50 всего мери­диана. Отсюда он вывел, что длина всего меридиана равна 5000X50, т. е. 250000 стадий.


23. Недостаточность рациональных чисел
Г ипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом
В геометрии, следствием так называемой аксиомы Архимеда является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида 1 / n. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.
Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.
Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число m и такое натуральное число n, что , причём дробь несократима, т. е. числа m и n — взаимно простые.
Если , то , т. е. m² = 2n². Следовательно, число m² чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число m также чётно. А значит найдётся натуральное число k, такое что число m можно представить в виде m = 2k. Квадрат числа m в этом смысле m² = 4k², но с другой стороны m² = 2n², значит 4k² = 2n², или n² = 2k². Как уже показано ранее для числа m, это значит, что число n — чётно, как и m. Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.
Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к необходимости расширения понятия рациональных чисел до вещественных.