Рациональное число. Множество рациональных чисел Что такое ломаное число? 3

10. Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.


11. О простых числах. Евклид, Эратосфен, Чебышев

Разложение чисел на простые множители показывает, что всякое число является либо простым, либо произведением двух или нескольких простых чисел. Можно поэтому сказать, что простые числа являются составными элементами натуральных чисел, как бы кирпичами, из которых при помощи действия умножения составляются все целые числа. Вот почему простыми числами начали интересоваться еще в древности. Издавна бросалась в глаза нерегулярность распределения прос­тых чисел среди всех натуральных чи­сел. Было замечено, что по мере про­движения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются все реже. Поэтому одним из первых вопросов был такой: суще­ствует ли последнее простое число, т. е. имеет ли ряд простых чисел конец? Около 300 лет до н. э. на этот вопрос дал отрицательный ответ знаменитый древнегреческий математик Евклид. Он доказал, что за каж­дым простым числом имеется еще большее простое число, т. е. существует бесчисленное множество простых чисел. Другой гре­ческий математик того же времени — Эратосфен изобрел способ, посредством которого можно найти все простые числа от 1 до некоторого определенного числа. Этот способ называется «реше­том Эратосфена» (рис. 1.). Пусть, например, требуется найти все простые числа между 1 и 50. Выписываем все числа от 1 до 50:

Рис. 1. Реше­то Эратосфена

Зачеркиваем единицу, которая не является ни простым, ни сос­тавным числом, затем подчеркиваем число 2 и зачеркиваем все числа, кратные двум, т. е. все числа таблицы, «через одно», на­чиная с 2. Далее подчеркиваем из не зачеркнутых чисел 3 и за­черкиваем все числа, кратные трем, т. е. «через два» и т. д. Оказывается, что между 1 и 50 имеются следующие 15 простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47. Этим способом в на­стоящее время составлены таблицы простых чисел между 1 и 12 000 000.

Для получения таблицы простых чисел Эратосфен, писавший на натяну­том папирусе, не зачеркивал, а прока­лывал составные числа. Отсюда назва­ние «решето Эратосфена»; оно отсеи­вает простые числа.
После Евклида и Эратосфена мно­гие другие ученые разных стран и вре­мен стремились глубже познать приро­ду простых чисел. Особенно хотелось найти такую формулу, которая позво­ляла бы быстро узнать, сколько прос­тых чисел имеется между 1 и любым числом натурального ряда. Лишь в XIX в., около 2200 лет после Евклида, великий русский матема­тик Пафнутий Львович Чебышев открыл формулу, позво­ляющую приближенно подсчитать простые числа на любом участке натурального ряда. Начиная со второй половины XX в. для поисков больших простых чисел применяются электронные счетные машины. С их помощью доказана простота таких чис­ловых гигантов, как:
(750 цифр); 2³²¹⁷—1; (1000 цифр) и др.