Рациональное число. Множество рациональных чисел Что такое ломаное число? 3

12. О задаче Гольдбаха. Нерешенные задачи теории чисел

Мы часто представляем составные числа как произведение простых чисел. А можно ли представить всякое натуральное чис­ло в виде суммы простых чисел?

Более 200 лет назад член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах (1690—1764) высказал такое предположе­ние: всякое нечетное целое число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Проверка на отдельных при­мерах показала справедливость этого предположения. Так, на­пример:
13 = 3 + 5+5; 23 = 5 + 7+11 и т. п.
Однако чтобы быть уверенным в том, что данное свойство справедливо для любых сколь угодно больших це­лых чисел, нужно найти общее доказа­тельство. В 1742 г. Гольдбах обратил­ся по этому вопросу к знаменитому ма­тематику Петербургской Академии на­ук Леонарду Эйлеру. Эйлер ответил, что он не может доказать это свойство, но высказал такое предположение: всякое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух прос­тых чисел. Например: 8 = 3 + 5; 28= = 11 + 17 и т. д.
Если можно было бы решить «зада­чу Эйлера», т. е. доказать второе свой­ство, то легко было бы решить и «за­дачу Гольдбаха», а именно: пусть име­ем какое-либо целое число. Либо оно четное, тогда оно разлагается на сум­му двух простых чисел (утверждение Эйлера), либо оно нечетное, тогда выч­тем из него нечетное простое число (допустим 3) и останется четное чис­ло, которое разложится в сумму двух также простых чисел (по Эйлеру) так, что всегда данное целое число разло­жится на сумму не более трех простых чисел.
На протяжении 200 лет над доказа­тельством предложения Гольдбаха тщетно трудились многие крупные уче­ные, в том числе создатель теории мно­жеств Георг Кантор (1845—1918), про­веривший предложение для всех чет­ных чисел от 4 до 1000, Обри — от 1000 до 2000 (в этих пределах каждое четное число было ими разло­жено на сумму двух простых чисел) и др.
Первый крупный успех в решении задачи Гольдбаха был дос­тигнут молодым советским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (1905—1938), доказавшим в 1930 г., что всякое целое число может быть представлено в виде суммы не более чем k простых чисел, где k — некоторое вполне определен­ное, но нам неизвестное число. Решение задачи Гольдбаха было сведено, таким образом, к доказательству того, что k («число Шнирельмана») равно 3. Вначале k оценивалось в порядке сотен тысяч, но вскоре благодаря дальнейшим трудам некоторых со­ветских и зарубежных математиков удалось значительно уменьшить оценку «числа Шнирельмана». В настоящее время k дове­дено до 20.
Крупнейшего успеха на пути к решению задачи Гольдбаха достиг в 1937 г. советский математик Иван Матвеевич Виноградов (род. в 1891 г.), доказав, что всякое достаточно большое нечетное чис­ло может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Результат, полученный академиком Виноградовым, является одним из блестящих математических достижений первой поло­вины XX в.
Тем не менее задачу Гольдбаха — Эйлера поныне нельзя считать полностью решенной ввиду того, что в доказательстве Виноградова речь идет не о всех, а только о нечетных числах, причем достаточно больших.