R. M. Turgunbaev matematik analiz

II BOB. DIFFERENTsIAL

1-§. Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yyetarli sharti
1. Differensiallanuvchi funksiya.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va x₀∈(a,b) bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi ∆y orttirmasini
∆y=A⋅∆x+α(∆x)∆x (1.1)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, bu funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bunda A - ∆x ga bog‘liq bo‘lmagan biror o‘zgarmas son, α(∆x) esa ∆x→0 da cheksiz kichik funksiya, ya’ni lim_α( _∆x ) ₌0.
∆x→0 y=kx+b chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun ∆y=k∆x tenglik o‘rinli, ya’ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga to‘g‘ri proportsional. Tarifdagi ∆y=A⋅∆x+α(∆x)∆x tenglik esa funksiya orttirmasi argument orttirmasiga «deyarli to‘g‘ri proportsional»ligini bildiradi, ya’ni ∆y≈A∆x. Bu tenglik |∆x| qanchalik kichik bo‘lsa, shunchalik aniqroq bo‘ladi. Geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigi x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida biror novertikal to‘g‘ri chiziq, ya’ni biror chiziqli funksiya grafigi bilan «qo‘shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigini x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida «to‘g‘rilash» mumkinligini anglatadi.
Masalan, 16-rasmda y=x² funksiya grafigini x₀=1 nuqta atrofida y=2x-1 to‘g‘ri chiziq grafigi bilan «qo‘shilib» ketishi ko‘rsatilgan.

16-rasm 17-rasm
17-rasmdan y=|x| funksiyani x=0 nuqtada differensiallanuvchi emasligi kelib chiqadi, bu funksiya grafigini x=0 nuqtaning hech bir atrofida «to‘g‘irlab» bo‘lmaydi.