R. M. Turgunbaev matematik analiz

∆t 

r (t) vektor-funksiyaning t=t₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va r ’(t₀) yoki dr(t0 ) dt
orqali belgilanadi. _
r^' (t₀ ) =∆^lim_t→₀^∆_∆^r_t (10. 4)
Hosila vektorning yo‘nalishini aniqlash maqsadida chizmaga e’tibor bersak, t→t₀ da M nuqta M_ 0 ga , M₀M kesuvchi esa urinmaga intiladi. Demak, hosila vektor r'(t₀ ) parametrning o‘sish tomoniga urinma bo‘ylab yo‘nalgan vektor bo‘ladi. ^ _{  }
Ravshanki, (10.3) tenglikdan ^r ’(t₀)= x'(t₀ )i + y'(t₀ ) j + z'(t₀ )k ekanligi, bundan esa hosilani hisoblashning asosiy qoidalari vektor-funksiyalar uchun ham o‘z kuchida qolishi kelib chiqadi.
Masalan: vektor-funksiyalar yig‘indisining hosilasi qo‘shiluvchi vektorfunksiyalar hosilalarining yig‘indisiga teng.
Xususan, ikki vektor-funksiyalar yig‘indisi uchun    
( r₁(t ) + r₂(t ))' = r₁'(t ) + r₂'(t )) (10.5)
ko‘rinishdagi formula o‘rinlidir.
Shunga o‘xshash, O‘zgarmas son ko‘paytuvchisini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: _{ } ^{d( ar(t )) =} a ^dr (10.6) dt dt
Endi vektor-funksiyalarga xos amallar bilan bog‘liq bo‘lgan hosilani hisoblashning ba’zi qoidalarini keltiramiz. Bu qoidalarning isbotini o‘quvchilarga mashq sifatida qoldiramiz.

1. 
   Vektor-funksiyalarning skalyar ko‘paytmasidan olingan hosila ushbu formula bilan ifodalanadi:    
   

^{d( r1}dt^{⋅ r2 )} ₌ ^ddt^r1 r^₂ + r^₁ ^d_dt^r2 (10.7) _{ }

2. 
   Agar f(t) skalyar funksiya va r (t) vektor-funksiya bo‘lsa, f(t)_⋅r (t) ko‘paytmaning hosilasi ushbu formula bo‘yicha hisoblanadi: _{ }
   

^{d( f (t )r(t )) = df} r^ ₊ f ^dr (10.8) dt dt dt
 

3. 
   r 1(t) va r 2(t) vektor-funksiyalarning vektor ko‘paytmasining hosilasi    d( r1dt× r2 ) = a dr1 × r2 + r1 × ddtr2 (10.9) dt
   

formula bo‘yicha topiladi.
Savollar.

1. 
   Parametrik tenglama bilan berilgan funksiya grafigi va parametrik tenglama bilan berilgan egri chiziq tushunchalari nimasi bilan farq qiladi?
   
2. 
   Ellipsning parametrik tenglamasini yozing.
   
3. 
   Parametrik tenglama bilan berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari qanday hisoblanadi?
   
4. 
   Vektor-funksiya qanday aniqlanadi? Uning godografi nima? Godografning fizik ma’nosinimadan iborat?
   
5. 
   Vektor-funksiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Uning yo‘nalishi qanday?
   
6. 
   Ikki vektor funksiyaning skalyar ko‘paytmasi, vektor ko‘paytmasining hosilasi qanday hisoblanadi?
   

Misollar.
1. Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyalarning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini toping:
a) x =y =arctgtt22 . ,, b) yx==2t ++ sincostt,., v) xy == sincostt−+ttcossintt,., g) yx== t , .
3 t −1.

2. 
   Agar λ₁(t), λ₂(t) –skalyar funksiyalar, _r ₁(t) va r ₂(_t) vektor-funksiyalar t=t_{ } 0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda 1)   λ₁(t)⋅ r ₁(t)+ λ₂(t)⋅ r ₂(t); 2) (r ₁(t)⋅r ₂(t)); 3) [r ₁(t)⋅r ₂(t)] funksiyalarning t=t₀ nuqtada uzluksiz ekanligini isbotlang.
   
3. 
   Yuqoridagi (10.5)-(10.9) formulalarni isbotlang.