R. M. Turgunbaev matematik analiz

2-§. Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma’nolari.
1. Funksiya differensiali.
f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo‘lib, x_∈(a;b) nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lsin. Ya’ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini
∆y = f'( x )∆x +α( ∆x )∆x (2.1)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsin, bunda ∆x→0 da α(∆x)→0.
Ta’rif. x nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya orttirmasi (2.1) ning bosh qismi f’(x)_∆x berilgan f(x) funksiyaning shu nuqtadagi differensiali deyiladi va dy yoki df(x) orqali belgilanadi, ya’ni dy=f’(x)∆x.
Masalan, y=x² funksiya uchun dy=2x_∆x ga teng.
Agar f(x)=x bo‘lsa, u holda f’(x)=1 va df(x)=1⋅∆x, ya’ni dx=∆x bo‘ladi.
Shuni hisobga olgan holda argument orttirmasini, odatda, dx bilan belgilashadi.
Buni nazarga olsak, f(x) funksiya differensialining formulasi dy=f’(x)dx yoki dy=y’dx (2.2)
bo‘ladi.
2. Differensialning geometrik ma’nosi.
Endi x_∈(a;b) nuqtada differensallanuvchi bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi 18-rasmda ko‘rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
B u chiziqning (x,f(x)) va (x+∆x, f(x+∆x)) nuqtalarin mos ravishda M va K bilan belgilaylik. Unda MS=∆x, KS=∆y bo‘ladi. f(x) funksiya x nuqtada chekli f’(x) hosilaga ega bo‘lgani uchun f(x) funksiya grafigiga uning M(x,f(x)) nuqtasida o‘tkazilgan ML urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tgϕ=f’(x). Shu ML urinmaning KS bilan kesishgan nuqtasini E bilan belgilaylik. Ravshanki, ∆MES dan
^{EC =} tg_ϕ. Bundan
MC
ES=MS⋅tgϕ=f’(x)∆x ekani kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali dy=f’(x)∆x funksiya grafigiga M(x,f(x)) nuqtada o‘tkazilgan urinma orttirmasi ES ni ifodalaydi. Differensialning geometrik
ma’nosi aynan shundan iborat. 18-rasm