R. M. Turgunbaev matematik analiz

10-§. Skalyar argumentli vektor funksiya va uning hosilasi
1. Vektor funksiya tushunchasi.
Ta’rif_ . Agar E sohadan olingan har bir haqiqiy t songa biror qoidaga ko‘ra bittadan r (t) vektor mos qo‘yilgan bo‘lsa, E to‘plamda t haqiqiy
o‘zgaruvchining vektor funksiyasi berilgan deyiladi. ³ fazodagi bazis (i_, _j ,k_ )
Agar R
b^o‘lsa, u holda vektor funksiyani _{  }
r (t)=x(t)i +y(t) j +z(t)k (10.1)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda_ x(t), y(t), z(t) lar r vektorning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalaridir. Vektor funksiyaning berilishi bilan uchta skalyar funksiya x(t), y(t), z(t) larning berilishi teng kuchlidir. _
A gar r (t) vektoring boshlang‘ich nuqtasi koordinatalar boshiga joylashtirilsa
(bunday vektor radius-vektor deb ataladi), _
u holda r (t) vektor uchlarining geometrik 14-rasm o‘rni vektor funksiyaning godografi deyiladi. Godografning fizik ma’nosi shundan _ iboratki, agar t parametr vaqt deb olinsa, r (t) radius-vektorning godografi harakatdagi nuqtaning traektoriyasini bildiradi. (14-rasm)
2. Vektor funksiyaning hosilasi. _
Agar t=t₀ nuqtada x(t), y(t), z(t) funksiyalar limitga ega bo‘lsa, r (t) vektor
funksiyaning ^t=t₀ nuqtadagi limiti _{  }
lim r(t ) ₌ lim x(t )i ₊ lim y(t ) j ₊ lim z(t )k (10.2)
t^→t0 t^→t0 t^→t0 t^→t0 bo‘ladi.
Agar tlim^→t0 r^(t ) ₌ r^(t₀ ) bo‘lsa, vektor-funksiya t=t₀ da uzluksiz deyiladi.

Endi r (t) vektor-funksiyaning hosilasi haqidagi masalaga o‘tamiz. ∆r^(t₀ ) vektorning boshi koordinatalar boshida deb faraz qilamiz. Bu holda

r (t) vektor-funksiyaning godografi parametrik ko‘rinishda x=x(t), y=y(t), z=z(t) tengliklar bilan berilgan fazoviy egri chiziqdan iborat bo‘ladi. O‘zgaruvchi t ning
shu egri chiziqdagi M₀ nuqtaga mos keladigan t=t₀ qiymatini olib, unga ∆t
orttirma beramiz. U vaqtda ^{ } _
 ^r(t₀ + _∆t )= x(t₀ + _∆t )i ₊ y(t₀ + _∆t ) j ₊ z(t₀ + ∆t )k
v ektorni hosil qilamiz, bu vektor egri chiziqda biror M nuqtani aniqlaydi.( 15- rasm).
Vektor-funksiya orttirmasini tuzamiz va uning skalyar argument orttirmasiga nisbatini qaraymiz:
15-rasm
∆r = r(t0 +∆t )−r(t0 ) = x((t0 +∆t )− x(t0 )i₊ y(t0 +∆t )− y(t0 ) j + z(t0 +∆t )− z(t0 )k (10.3) ∆t ∆t ∆t _ ∆t ∆t
Ta’rif. Agar _∆t_→0 da ^∆r nisbatning chekli limiti mavjud bo‘lsa, u limit