R. M. Turgunbaev matematik analiz

4-§. Taqribiy hisoblashlarda differensialning qo‘llanilishi.
Yuqorida ta’kidlaganimizdek, x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun ∆y≈f’(x₀)dx, ya’ni ∆y≈dy taqribiy tenglik o‘rinli. Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tatbiqiy masalalarida muhim ahamiyatga ega bo‘lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikda _∆y=f(x)f(x₀), ∆x=x-x₀ deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
f(x)-f(x₀) ≈f’(x₀)( x-x₀) yoki
f(x) ≈ f(x₀)+f’(x₀)( x-x₀) (4.1)
(4.1) formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo‘llaniladi.

Masalan, f(x)= x funksiya uchun quyidagi x (4.2)

formula o‘rinli. Agar f(x)= x funksiyaning x=0,98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (4.2) formulada x=1, ∆x=-0,02 deb olish yyetarli. U holda bo‘ladi. Agar 0,98 kalkulyatorda hisoblasak,
uni 10^-6 aniqlikda 0,989949 teng ekanligi ko‘rish mumkin. Demak, differensial yordamida hisoblaganda xatolik 0,001 dan katta emas. Umumiy holda differensial yordamida taqribiy hisoblashlardagi xatolikni baholash masalasini kelgusida o‘rganamiz.
5-§. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari
1. Yuqori tartibli differensiallar.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya biror (a,b) intervalda berilgan bo‘lsin. Bu funksiyaning dy=f’(x)dx differensiali x ga bog‘liq bo‘lib, dx=∆x va ∆x orttirma x ga bog‘liq emas, chunki x nuqtadagi orttirmani x ga bog‘liq bo‘lmagan holda ixtiyoriy tanlash mumkin. Bu holda differensial formulasidagi dx ko‘paytuvchi o‘zgarmas bo‘ladi va f’(x)dx ifoda faqat x ga bog‘liq bog‘liq bo‘lib, uni x bo‘yicha differensiallash mumkin.
Demak, bu funksiyaning differensiali mavjud bo‘lishi mumkin va u, agar mavjud bo‘lsa, funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi.
Ikkinchi tartibli differensial d²y yoki d²f(x) kabi belgilanadi. Shunday qilib, ikkinchi tartibli differensial quyidagicha aniqlanar ekan: d²y=d(dy).
Berilgan y=f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali ifodasini topish uchun dy=f’(x)dx formulada dx ko‘paytuvchi o‘zgarmas deb qaraymiz. U holda d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=(f’’(x)dx)dx=f’’(x)(dx)²
bo‘ladi. Biz kelgusida dx ning darajalarini havssiz yozishga kelishib olamiz. Bu kelishuvni e’tiborga olsak, (dx)²=dx² bo‘ladi va ikkinchi tartibli differensial uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
d²y=f’’(x)dx² (5.1)
Shunga o‘xshash, uchinchi tartibli differensialni ta’riflash va uning uchun ifodasini keltirib chiqarish mumkin: d³y=d(d²y)=d(f’’(x)dx²)=f’’’(x)dx³.
Umumiy holda funksiyaning (n-1)-tartibli differensiali d^n-1y dan olingan differensial funksiyaning n-tartibli differensiali deyiladi va dⁿy kabi belgilanadi, ya’ni dⁿy=d(d^n-1y). Bu holda ham funksiyaning n-tartibli differensiali uning ntartibli hosilasi orqali quyidagi
dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (5.2)
ko‘rinishda ifodalanishini isbotlash mumkin.
Yuqoridagi formuladan funksiyaning n-tartibli hosilasi uning n-tartibli differensiali va erkli o‘zgaruvchi differensialining n-darajasi nisbatiga teng ekanligi kelib chiqadi:
f⁽ⁿ⁾(x)= dⁿy/ dxⁿ.