Qoraqalpoq davlat universiteti

Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi. to'plamda :
funksional ketma-ketlik berilgan bo'lib, uning lim it funksiyasi bo'lsin:

2-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi M to'plamda uzluksiz bo'lib, bu funksional ketma-ketlik M to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda limit funksiya ham M to'plamda uzluksiz bo'ladi.Bu teoremaning shartlari bajarilganda ushbu:

munosabat o'rinli bo'ladi.
6. Funksional qatorlarda va ketma-ketliklarda hadma-had limitga o'tish, integrallash, differensiallash
Funksional qatorlarda hadma-had limitga o'tish. to'plamda yaqinlashuvchi
(18)
funksional qator berilgan bo'lib, uning yig’indisi bo'lsin nuqta esa M to'plamning limit nuqtasi.
1-teorema. Agar da funksional qatorning har bir hadi chekli
(19)
limitga ega bo'lib, bu qator M da tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda

qator yaqinlashuvchi, uning yig'indisi C esa ning dagi limiti

ga teng bo'ladi.
Shartga ko'ra (18) funksional qator tekis vaqirlashuvchi. U holda olinganda ham. Shunday topiladiki, barcha , lar va M to'plamning barcha x nuqtalari uchun
(20)
tengsizlik bajariladi. (19) munosahatni etiborga olib, (20) tengsizlikda da limitga o'tib quyidagini topamiz:

Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, barcha lar uchun

tengsizlik bajarilar ekan. Qator yaqinlashuvchiligining zaruriy va yetarli shartini ifodalovchi teoremaga muvofiq.

qator yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak,

Bunda

Endi da (18) funksional qator yig'indisi ning limiti C ga teng, ya'ni

bo'lishini ko'rsatamiz. Shu maqsadda ushbu

ayirmani olib. uni quyidagicha yozamiz:
(21)
Bunda

Teoremaning shartiga ko'ra (18) funksional qator tekis yaqinlashuvchi.
Demak, olinganda ham, ga ko'ra shunday topiladiki, barcha va M to'plamning barcha x nuqtalari uchun
(22)
tengsizlik bajariladi. (19) munosabatdan foydalanib quyidagini topamiz:

Demak, olinganda ham, ga ko'ra shunday topiladiki, bo'lganda
(23)
tengsizlik hajariladi.
Yuqorida isbot ciilganiga ko'ra

Demak, olinganda ham ga ko'ra shunday topiladiki, barcha uchun
(24)
bo'ladi. Shuni ham aytish kerakki, agar deb olinsa, unda barcha uchun (22) va (23) tengsizliklar bir vaqtda bajariladi. Natijada (21) munosabatlardan, (22), (23) va (24) tengsizliklarni etiborga olgan holda, quyidagini topamiz:
Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, uchun

tengsizlik bajariladi. Bu esa ekanini bildiradi ►
Yuqoridagi limit munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu esa 1-teoremaning shartlari hajarilganda cheksiz qatorlarda ham hadmahad limitga o'tish qoidasi o'rinli bo'lishini ko'rsatadi.
Funksionat ketma-ketiihlarda hadma-had limitga o'tish. to'plamda :

funksional keima-ketlik berilgan bo'lib, uning limit funksiyasi bo'lsin. nuqlada esa M to'plamning limit nuqtasi.