Qoraqalpoq davlat universiteti

2-teorema.(Koshi kriteriyasi) funksional ketma-ketlikning to’plamda ga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun va butun
sonlari hamda barcha lar uchun
(6)
tengsizlik bo`lishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik, M to`plamda funktsional ketma-ketlik limit funktsiya ga ega bo`lib, unga tekis yaqinlashsin:

Tekis yaqinlashish ta`rifiga ko`ra
bo`ladi.
Xususan, k=n va , da
tengsizliklar bajarilib, ulardan

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, (6) shart o`rinli.
Etarliligi. funktsional ketma-ketlik uchun (6) shart bajarilsin. Uni quyidagicha yozamiz:
, da
(7)
bo`ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun (7) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko`ra yaqinlashuvchi bo`ladi. Binobarin, chekli
(8)
limit mavjud.
Modomiki, har bir da (8) limit mavjud bo`lar ekan, unda avval ayganimizdek, M to`plamda aniqlangan

funktsiya hosil bo`ladi Uni bilan belgilaymiz. Bu funktsiya funktsional ketma-ketlikning limit funktsiyasi bo`ladi:

Endi (7) tengsizlikda, n va x larni tayinlab da limitga
o`tamiz. Natijada

hosil bo`ladi. Bu

bo`lishini bildiradi. ►
3-teorema. ( Veyershtrass alomati) Agar sonlar ketma -ketligi mavjud bo‘lib,
1) uchun va ;
2) va barcha lar uchun

bo'lsa, unda to’plamda bo‘ladi.

2.Funksional qatorlarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi.
Biror to'plamda funksional ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Quyidagi

ifodaga funksional qator deyiladi va u kabi belgilanadi.
(7)
lariga funksional qatorning hadlari,
ga esa funksional qatorning umumiy hadi deyiladi.
Ixtiyoriy, nuqta olib, ushbu
(8)
sonli qatorni qaraymiz. Agar bu sonli qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, funksional qator nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi, nuqta esa funksional qatorning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deb ataladi.
funksional qatorning barcha yaqinlashish nuqtalaridan iborat to‘plam bu funksional qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi.
nuqta olib, sonli qatorni ko‘rsak, u yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning yig'indisini deb belgilaymiz. Xuddi shunga o'xshash olib, unga qatorning yig‘indisini mos qo‘ysak, u holda M to'plamda aniqlangan funksiya hosil bo'ladi. Bu funksiya
(7)-funksional qatorning yig‘indisi deyiladi.

Ushbu

yig‘indilarga (7)-funksional qatorning qismiy yig‘indilar deyiladi.
Shunday qilib, (7)-qatorga mos keluvchi
(9)
funksional ketma-ketlikni hosil qildik va aksincha, (9)-qismiy yig'indilari ketma-ketligi berilgan holda har doim hadlari (7)-funksional qatorning hadlariga teng bo‘lgan quyidagi

funksional qatorni hosil qilish mumkin. => Agar (9)-ketma-ketlik nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo'lsa, u holda (7)-qator ham nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘ladi va

tenglik bajariladi.
Demak, funksional qator yoki funksional ketma-ketlikdan birining xossalarini batafsil o'rganish yetar.