Qatorlar nazariyasi elementlari Reja

Sonli qatorning yaqinlashish alomatlari


qatorning barcha hadlari bo’lsa, bunday qator musbat hadli qator deyiladi. Agar qatorning barcha hadlari manfiy bo’lsa, manfiy ishora qavsdan chiqarilib musbat hadli qatorga keltiriladi.
Shu sababli sonli qatorning yaqinlashish alomatlarini musbat hadli qator uchun keltiramiz va u manfiy qatorlar uchun ham o’rinli ekanligini ta’kidlaymiz.
Ko’p amaliy masalalarni qatorlar nazariyasini qo’llab echishda uning yig’indisini topmasdan yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini bilish etarli.
Qatorning yaqinlashuvchi ekanligi uni yig’indisi chekli son ekanligini bildiradi.
Endi sonli qator yaqinlashishining bir nechta alomatlarini keltiramiz.
qator yaqinlashishining zaruriy alomati.
Teorema. (1)s.q. yaqinlashsa, n cheksiz o’sib borganda uning n – hadi nolga intiladi, ya’ni .
M:
Endi bo’lib, (1) s.q. uzoqlashuvchi bo’lishiga misol keltiramiz:
sonli qatorni qaraymiz. Bu qatorga garmonik qator deyiladi
Ravshanki, garmonik qator uchun ya’ni qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajariladi.
Isbot qilamizki, garmonik qator uzoqlashuvchi.
Garmonik qatorning nomerli qismiy yig’indisini qaraymiz:


Bu jarayonni davom ettirsak

Bundan ko’rinadiki ya’ni ketma – ketlik chekli limitga ega emas, bundan ko’rinadiki garmonik qator uzoqlashuvchi ekan.
Musbat hadli qatorlarning taqqoslash.
Musbat hadli ikkita qator berilgan bo’lsin.


Teorema. Agar (1) birinchi qatorning hadlari (4) to’rtinchi qatorning hadlaridan katta bo’lmasa, ya’ni

bu holda:
1). (4) qator yaqinlashsa, (1) qator ham yaqinlashadi;
2). (1) uzoqlashsa, (4) qator ham uzoqlashadi.
Misol. qatorning yaqinlashish yoki uzoqlashishini tekshiring.
Echish. (4) qator sifatida

Garmonik qatorni qaraymiz va (5) shartni bajarilishini tekshiramiz:
chunki
garmonik qator bo’lib, u uzoqlashuvchi va demak berilgan s. q. ham uzoqlashuvchi.
Dalamber alomati. (Dalamber Jan 1717 – 1783 frantsuz olimi)
Teorema. Agar musbat hadli (1) qatorning hadining - hadga nisbati da (chekli) limitga ega bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u vaqtda
1. bo’lganda (1) s. q. yaqinlashadi.
2. bo’lganda (1) s. q. uzoqlashadi.
3. bo’lganda bu teorema qatorning yaqinlashishiga yoki uzoqlashishiga javob bera olmaydi. Bu holda (1) qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlash uchun boshqa qator yaqinlashishi belgilaridan foydalaniladi.
Koshi alomati (Koshi Ogyusten Lui. 1789 – 1875 taniqli frantsuz matematigi.)
Teorema. Agar (1) hadli qator uchun miqtor da chekli limitga ega, ya’ni

1. bo’lganda (1) qator yaqinlashadi.
2. bo’lganda (1) qator uzoqlashadi.
3. bo’lganda bu teorema ham qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishiga javob beraolmaydi.
Misol. qatorning yaqinlishishini tekshiramiz.
Echish. Bu qatorning yaqinlashishiga qator yaqinlashishining Dalamber alomatini ham, Koshi alamotini ham qo’llasa bo’ladi.
Haqiqatan:
1) bo’lganidan

ya’ni berilgan qator yaqinlashuvchi
2)
Amalda sonli qatorlarning tekshirganda bo’lgan hol ko’p uchraydi. Masalan gormanik qator uchun
Bunday halda quyidagi qator yaqinlashishining integral alomati deb ataluvchi qator yaqinlashishining alomati ko’pincha samara beradi.
Qator yaqinlashishining integral alomati.
Teorema. Agar (1) qatorning hadlari musbat va o’suvchi bo’lmasin, ya’ni

va o’smaydigan shunday uzluksiz funktsiya mavjud bo’lsinki

Bu holda, agar
xosmas integral yaqinlashsa, (1) qator ham yaqinlashadi, (8) xosmas integral uzoqlashsa (1) sonli qator ham uzoqlashadi.
Misol uchun garmonik qatorni qaraylik:


bo’lganidan xosmas integralni qaraymiz.
Xosmas integralni tarifiga asosan

ya’ni xosmas integral uzoqlashuvchi va demak garmonik qator ham yaqinlashuvchi.