Qarshi davlat universiteti matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi

Giperbolik nuqtalar.

va funksiyalar dinamik sistemalar nazariyasida turlicha. Bunday akslantirishlarning noodatiy xususiyati shundaki, ularning barcha nuqtalari davriy. Koʻpgina akslantirishlarning bunday xususiyati yoʻq. Shu sababli biz giperboliklik tushunchasini kiritamiz.
Bizga haqiqiy sohada aniqlangan funksiya berilgan boʻlsin.
Ta’rif 1.2.3 nuqta davrli davriy nuqta boʻlsin. Agar boʻlsa, u holda giperbolik nuqta deyiladi.
Misol 1.2.3 Quyidagi funksiyani qaraylik

Ushbu funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalarini topaylik.



, ,
Berilgan funksiyada 3 ta qoʻzgʻalmas nuqta bor: Ushbu nuqtalarni giperboliklikka tekshirib koʻraylik.
va Demak, har bir qoʻzgʻalmas nuqta giperbolik.

1.1.1-rasm
Lemma 1.2.1 giperbolik qoʻzgʻalmas nuqta va boʻlsin. U holda ning biror ochiq atrofidan olingan uchun

tenglik bajariladi.
Isbot. boʻlsin. son mavjud boʻlib, nuqtalar uchun boʻlsin. Lagranj teoremasiga koʻra,


yoki

Ta’rif 1.2.4 Berilgan nuqta davrli giperbolik davriy nuqta boʻlib, boʻlsa, nuqta tortuvchi davriy nuqta deyiladi.
Tortuvchi qoʻzgʻalmas nuqtalar 3 oraliqda farqlanadi.
a) b) c)

1.1.2-rasm
Ta’rif 1.2.5 qoʻzgʻalmas nuqta berilgan va boʻlsa, itaruvchi qoʻzgʻalmas nuqta deyiladi.
Misol 1.2.4. kvadrat funksiyalar oilasi berilgan. Bu yerda parametr.
deylik va qoʻzgʻalmas nuqtalarini topaylik.


Ushbu tenglamada deskriminant parametrga bogʻliq. Shuning uchun bu tenglamaning yechimlarini , , hollarda aniqlashga harakat qilamiz.
1) boʻlsa


2) boʻlsa


3) boʻlsa


ning grafigi parametrning oʻzgarishiga koʻra turli hollarda boʻladi, ya’ni

Endi ni parametrning qiymatlariga koʻra tahlil qilaylik.(1.1.3-rasm)
1) boʻlganda da birorta ham qoʻzgʻalmas nuqta yoʻq. Ya’ni boʻlganda shartga kelamiz. Bu esa tenglama yechimga ega emasligini koʻrsatadi.
2) boʻlganda yagona giperbolik boʻlmagan qoʻzgʻalmas nuqta mavjud ( ). Ya’ni
boʻlsin. Uning qoʻzgʻalmas nuqtasini topaylik.



Demak, qoʻzgʻalmas nuqta. Endi bu nuqtani giperboliklikka tekshiraylik:
)=2x
Bundan koʻrish mumkinki, nuqta giperbolik nuqta emas.
3) boʻlsin. da itaruvchi va tortuvchi qoʻzgʻalmas nuqtalar mavjud.

1.1.3-rasm