Qarshi davlat universiteti matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi

Teorema 1.1.1 (Lagranj). funksiya intervalda differensiallanuvchi boʻlsin. U holda shunday nuqta topiladiki,

tenglik oʻrinli boʻladi( 1.1.2-rasm).

1.1.2-rasm
Teorema 1.1.2 (Oʻrta qiymat haqida). Agar funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz boʻlib, uning chetki nuqtalarida va qiymatlarga ega va boʻlsa, va orasidan har qanday son olinganda ham bilan orasidan shunday nuqta topiladiki,

tenglik oʻrinli boʻladi (1.1.3-rasm).

1.1.3-rasm
Teorema 1.1.3 (Oshkormas funksiya haqida). Aytaylik, , hamda


boʻlsin. U holda ning shunday va ning shunday kichik atrofida shunday funksiya topiladiki, lar uchun
,

tengliklar oʻrinli boʻladi.
1.2.Qoʻzgʻalmas nuqtalar
Ta’rif 1.2.1 Agar biror nuqta uchun tenglik bajarilsa, nuqta funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtasi deyiladi.
Lemma 1.2.1 Berilgan funksiya uzluksiz boʻlsin, u holda funksiyaning oraliqda kamida bitta qoʻzgʻalmas nuqtasi mavjud.
Isbot. boʻlsin. Ma’lumki, da uzluksiz. Faraz qilaylik, , boʻlsin. Bundan esa , boʻladi. Oʻrta qiymat haqidagi teoremaga koʻra shunday nuqta mavjud boʻlib, boʻladi. . .

1.2.1- rasm
Lemma 1.2.2 funksiyauzluksiz va lar uchun boʻlsa, u holda funksiyaning ga tegishli boʻlgan yagona qoʻzgʻalmas nuqtasimavjud. Bundan tashqari , lar uchun

tengsizlik oʻrinli.
Isbot. Lemma 1.2.1 ga koʻra da kamida bitta qoʻzgʻalmas nuqta bor. Faraz qilaylik, va qoʻzgʻalmas nuqtalar boʻlsin. Lagranj teoremasiga koʻra, va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjud boʻlib,

Lekin bu tenglik lar uchun tengsizlikka zid. Demak, farazimiz xato. boʻladi. Ya’ni funksiya da yagona qoʻzgʻalmas nuqtaga ega.
Lemmaning ikkinchi qismini isbotlashda yana Lagranj teoremasidan foydalanamiz. , lar uchun

munosabat oʻrinli boʻladi.
Ta’rif 1.2.2 nuqta ning qoʻzgʻalmas nuqtasi boʻlsin. Agar boʻlsa, nuqta davrli davriy nuqta deyiladi.
Misol 1.2.1 funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalarini topaylik.
tenglamaning ildizlarini topamiz.


, ,
Demak, , , va nuqtalar funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalari.
Misol 1.2.2 funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalarini topaylik.



Demak, berilgan funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalari nuqtalardir.
Boshqacha qilib aytganda, qoʻzgʻalmas nuqtalarni topishda berilgan funksiyaning grafigini funksiya grafigi bilan kesishish nuqtalarini topish kerak boʻladi.