Проектирование раздела «Четырёхугольники» в 8-классе на основе образовательных технологий

Задачи
1. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника.
2. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – ромб.
3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.
4. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
5. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.
6. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция – равнобедренная.


Задачи
№1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.

Решение: Поскольку ∠QPS = ∠QPM = ∠MNQ = ∠QNP (см. рис.), треугольник PQS подобен треугольнику NQP по двум углам (угол при вершине Q общий). Поэтому . Пусть NS = x. Тогда .
Из этого уравнения находим, что x = 45.
Ответ: 45.
№2. Диагонали четырёхугольника АВСD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что ∠АВС = 72°, ∠ВСD = 102°, ∠AMD = 110°. Найдите ∠ACD.

Решение: Пусть ∠АСD = x.
∠DMC = 180˚-110°=70˚;
∠DMC = ∠DBC+∠BCA;
∠BCA=102˚-x; ∠DBC+102˚-x =70˚; x=∠DBC+32˚.
∠DBC+∠ABD=72˚; ∠ABD=x; ∠DBC=72˚-x; 2x=104˚; x=52˚.
Ответ: 52˚


№3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82˚ и 58˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180˚. Пусть угол А равен 82˚. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58˚, то угол D равен 180˚-58˚=122˚.
Ответ:122.
№4. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Решение: Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и с, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника, ^a+c=b+d, и значит, периметр равен 2(a+c).
Получаем, что a+c=20, а средняя линия равна 10.
Ответ: 10.
№5. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение: Пусть сторона АВ равна х, АD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит, х+3х=ВС+2х.
Получается, что BC равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х=4, а большая сторона равна 12.
Ответ: 12.
План – конспект урока