Проектирование раздела «Четырёхугольники» в 8-классе на основе образовательных технологий

Задачи
№1. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

Решение: Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: АН=
№2. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
В ответе запишите величины различных углов в порядке возрастания без пробелов.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть диагональ АС равна 76. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник АОН, он прямоугольный, найдём синус угла ОАН: sin =  , следовательно, угол OAH равен 30°.
Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они прямоугольные, AO — общая, AB=AD, следовательно, эти треугольники равны, откуда ∠ВАO =∠OAD=30˚, поэтому ∠BAD=2∙30˚=60˚. Сумма смежных углов ромба равна 180˚, откуда ∠AВС=180˚-∠BAD=180˚-60˚=120˚.
Ответ: 60120

5. 
   Квадрат
   

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Основные свойства квадрата:

1. 
   Все углы квадрата прямые.
   
2. 
   Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
   

Задачи
1. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
2. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
3. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник – квадрат