Применение двукратных и трехкратных интегралов

Теорема 1. Функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области, интегрируема в этой области.
Теорема 2. Функция, ограниченная в кубируемой области и непрерывная всюду, кроме множества точек объёма нуль, интегрируема в этой области.
Замечание. Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как и двойные интегралы.
§2. Замена переменных в трехкратном интеграле.
Пусть функции:
, ,
осуществляют взаимно однозначное отображение области пространства на область пространства , имеют в непрерывные частные производные 1-го порядка и отличный от нуля якобиан (определитель из производных):
.
Тогда при условии существования тройного интеграла справедлива формула замены переменных:

. (5)
§3. Геометрический смысл трехкратного интеграла.
Объём кубируемого тела в пространстве выражается формулой:
. (6)
Переходя в равенстве (6) к криволинейным координатам , , по формулам (5), получим выражение объёма в криволинейных координатах:
.
Величину , представляющую собой объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами , и , называют элементом объёма в прямоугольных координатах. Величину называют элементом объёма в криволинейных координатах. Модуль якобиана представляет собой коэффициент растяжения объёма в точке при отображении области на область .
В цилиндрических координатах объём тела будет определяться формулой:
. (7)
В сферических координатах объём тела будет определяться формулой:
. (8)
Задача 4. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
, , , , ,
содержащего точку (0,0,0).
Решение. Тело ограничено сверху плоскостью:
;
снизу плоскостью ; сбоку координатными плоскостями , и плоскостью , параллельной оси (рис. 6).


Рис. 6
Проекцией тела на плоскость является треугольник D, правильный в направлении оси . Тогда переменная изменяется от 0 до 1; переменная изменяется от 0 до прямой ; переменная изменяется от 0 до верхней плоскости .
Пользуясь формулой (6), получим:




.