Применение двукратных и трехкратных интегралов

ГЛАВА V. Применение трехкратного интеграла.
§1. Вычисление массы тела при заданной объемной плотности трехкратного интеграла.
Вычисление массы производится по формуле:
,
где – объемная плотность распределения массы в точке .
Задача 5. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью конуса и плоскостью , если плотность тела .
Решение. Строим область интегрирования (рис. 7). Вершина конуса находится в точке (0;0;2), и в сечении конуса плоскостью получается окружность .

Рис. 7



.
§2. Вычисление объемов тел с помощью трехкратного интеграла.
Объем области выражается формулой:
– в декартовых координатах,
– в цилиндрических координатах,
– в сферических координатах,
Задача 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , .
Решение. Строим область интегрирования (рис. 8):

Рис. 8


.
§3. Вычисление статистических моментов тела и координат его центра масс тела с помощью трехкратного интеграла.
Моменты , , тела относительно координатных плоскостей , , вычисляются по формулам:
,
,
.
Координаты центра масс тела находятся по формулам:
, , .
Задача 7. Вычислить координаты центра масс однородного тела , ограниченного поверхностями и .
Решение. Строим тело, ограниченное данными поверхностями. Область (рис. 9) ограничена поверхностью параболоида, отсеченного плоскостью .

Рис. 9
Его проекция на плоскость представляет собой круг, ограниченный окружностью . Вычислим массу тела в цилиндрических координатах, считая, что его плотность :

.
Тогда


.
Аналогично определяются и , но так как тело – однородное и симметричное относительно , то и .