Применение двукратных и трехкратных интегралов

§3. Геометрический смысл двойного интеграла.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела к геометрической интерпретации определенного интеграла, а задача о вычислении объема цилиндрического тела приводит к геометрической интерпретации двойного интеграла.
Пусть дано тело (рис. 1.1), ограниченное сверху поверхностью неотрицательна и непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области , с боков − цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси , снизу – областью плоскости . Такое тело называется цилиндрическим.

Рис. 1
Вычислим объем цилиндрического тела (рис. 1), для чего область разобьем на , не имеющих общих внутренних точек, частичных областей имеющих соответственно площади обозначим диаметр частичной области , через , Через границу каждой из частичных областей , , проведем цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси . Таким образом, из цилиндрического тела будут вырезаны столбики объемов , и тогда объем цилиндрического тела будет равен сумме , . В пределах каждой частичной области , , выберем по произвольной точке и вычислим значения функции в этих точках − , . Заменим -ый столбик, на цилиндр с высотой равной и площадью основания равной , тогда:

и

Это приближенное равенство тем точнее, чем больше . Устремив к бесконечности, но так, что диаметр разбиения будет стремиться к нулю, получим:

Так как функция непрерывна в области , то:

и двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен объему соответствующего цилиндрического тела.


ГЛАВА III. Применение двукратного интеграла.
Двукратные интегралы применяются при решении многих геометрических и физических задач: вычисления площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и других сферах.