Преобразования плоскости §

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство: Предположим, что невырожденная матрица имеет две обратные: и . Тогда из равенств и следует, . Умножая слева обе части данного равенства на , получаем или, учтя, что , приходим к . Лемма доказана.

В частном случае, когда и если , матрица имеет вид

.
Для квадратных матриц порядка справедливы ¹) следующие равенства

Пример 5.1.2.

Используя матричные операции, систему линейных уравнений можно записать в виде , где

, а ее решение (если существует ), - в виде .

Пример 5.1.3.

Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой (1.8.2.) с помощью матричных операций могут быть записаны в виде , где - матрица перехода.

Теорема 5.1.1.

Имеет место соотношение .

Доказательство: Будем предполагать, что размеры матриц и таковы, что произведения матриц, указанные в формулировке теоремы, существуют. Пусть числа суть элементы матриц , и соответственно. Тогда, согласно определению 5.1.1., . Но, с другой стороны, по определению операции транспонирования 1.1.8., , откуда, учитывая определение 5.1.1., делаем заключение о справедливости утверждения теоремы. Теорема доказана.

Заметим, что согласно правилу транспонирования произведения матриц равенство может быть записано в виде .

Для дальнейших рассуждений нам будет полезно следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 5.1.2.

Пусть произведение квадратной матрицы на произвольный n-компонентный столбец есть нулевой n-компонентный столбец, тогда матрица нулевая.

Доказательство: Пусть . Выберем в качестве столбец вида , где единица стоит в строке с номером i . Тогда и, в силу произвольности i , приходим к заключению о справедливости утверждения леммы. Лемма доказана.

Теорема 5.1.2.