1. При аффинном преобразовании отношение площади образа параллелограмма к площади самого параллелограмма равно абсолютной величине .
|
2. При аффинном преобразовании ориентация образов пары векторов совпадает с ориентацией прообразов, если , и меняется на противоположную, если .
|
|
Доказательство:
Рассмотрим некоторый базис образованный векторами и , образы которых при аффинном преобразовании есть соответственно и (рис. 5.4.1.), где, согласно следствию 5.3.2., коэффициенты и являются элементами матрицы линейного оператора , то есть .
|
|
Рисунок 5.4.1.
По свойству векторного произведения (см. §2.4.) площадь параллелограмма построенного на базисных векторах и , , а площадь параллелограмма построенного на образах базисных векторов . Поскольку
то а ориентация пары векторов не меняется при и меняется на противоположную при .
|
|
Наконец отметим, что полученные соотношения будут выполнены для любого базиса, а, значит, и для любого параллелограмма.
Теорема доказана.
|
Do'stlaringiz bilan baham: |