Преобразования плоскости §

§5.6. Понятие группы

Определение 5.6.1.

Множество G называется группой по отношению к заданной операции, если любым двум его элементам и оставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый произведением и обозначаемый , и если выполняются следующие условия: 1. ; 2. существует элемент e такой, что для любого ; 3. для каждого x существует элемент такой, что .

Если, кроме того, , то группа называется коммутативной или абелевой.

Пример 5.6.1.

К группам относятся, например, следующие множества: 1) Множество вещественных чисел относительно операции сложения образует группу, где e - число 0. 2) Множество положительных вещественных чисел образует группу относительно операции умножения, где e - число 1. 3) Множество поворотов плоскости вокруг фиксированной точки образует группу относительно операции композиции. 4) Множество аффинных преобразований плоскости образует группу относительно операции композиции.

1) Правило нахождения определителя квадратной матрицы порядка n приводится в разделе 6.

1) Для эти соотношения проверяются непосредственно по определению 1.1.9., случай произвольного n рассматривается в разделе 6 .