Преобразования плоскости §

Раздел 5
Преобразования плоскости

Раздел 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
§5.1. Произведение матриц

Определение 5.1.1.

Матрица размера mxn (с элементами ) называется произведением матрицы размера mxl (с элементами ) на матрицу размера lxn (с элементами ), где

Результат произведения матриц - матрица , есть матрица размера mxn при любом l, которая обозначается как . Правило нахождения компонентов произведения по компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис. 5.1.1.

Пример 5.1.1.	Приведем результаты произведения матриц, имеющих не более чем пару строк или столбцов. 1. Пусть размер есть 2x2, а размер - 2x1, тогда размер будет 2x1 .
	2. Если размер есть 2x2, а размер - 1x2, то размер будет 1x2

3. Наконец, пусть размер и есть 2x2, тогда матрица будет иметь размер 2x2

Рисунок 5.1.1.
Замечания о произведении матриц

Из определения произведения матриц непосредственно следует, что для матриц подходящих размеров:

1. Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае .

2. Произведение матриц обладает свойством ассоциативности .

3. Произведение матриц обладает свойством дистрибутивности .

Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.
Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любой матрицы на подходящего размера единичную матрицу (см. §1.1.) дает в результате ту же самую матрицу .

Определение 5.1.2.

Матрица называется обратной квадратной матрице , если выполнены равенства .

Обратная матрица существует не для произвольной квадратной матрицы. Для существования матрицы обратной к необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ¹).

Определение 5.1.3.

Матрица , для которой , называется вырожденной, а матрица, для которой - невырожденной.

Лемма 5.1.1.