Преобразования плоскости §


Матрица перехода от одного ортонормированного базиса на плоскости к другому ортогональная



Download 1,37 Mb.
bet4/17
Sana22.02.2022
Hajmi1,37 Mb.
#108195
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17
Bog'liq
Section 05-arpgyy616ri

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса на плоскости к другому ортогональная .







Доказательство:

В §1.8. было показано, что - матрица перехода от одной ортонормированной системы координат на плоскости к другой, может иметь один из двух следующих видов: или , где - угол между первыми базисными векторами. Но тогда матрица перехода ортогональная в силу теоремы 5.1.4.


Следствие доказано.



§5.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости

Вводимое в курсе математического анализа понятие функции (как правила, устанавливающего однозначное соответствие между числом, принадлежащим области определения, и числом, принадлежащим множеству значений) может быть естественным образом обобщено на случай, когда область определения и область значений не являются числовыми множествами.





Определение
5.2.1.

Будем говорить, что задан оператор , действующий на множестве со значениями в множестве , если указано правило, по которому каждому элементу множества  поставлен в соответствие единственный элемент из множества .

Символически результат действия оператора обозначается так: . Элемент y в этом случае называется образом элемента x, элемент x - прообразом элемента y.



Определение
5.2.2.

Если  - область значений некоторого оператора - является числовым множеством, то говорят, что на множестве  задан функционал.

Функционалы обычно обозначаются так же, как и функции: например, .



Пример
5.2.1.



1. Если каждому вектору в пространстве поставлен в соответствие вектор , являющийся ортогональной проекцией вектора на некоторую ось l , то говорят, что в пространстве задан оператор - ортогонального проектирования векторов на ось l. В этом случае символически можно записать, что .






2. Каждой дифференцируемой на функции можно поставить в однозначное соответствие - ее производную функцию, поэтому можно говорить об операторе дифференцирования , символически обозначаемом как .

3. Каждому вектору в пространстве можно поставить в однозначное соответствие число - его длину. Очевидно, что данная зависимость является функционалом, заданным на множестве векторов.


4. Для каждой непрерывной на функции существует однозначно вычисляемый определенный интеграл , который можно рассматривать как функционал на множестве функций, непрерывных на .




Определение


5.2.3.

Оператором , отображающим плоскость (или просто отображением плоскости) P на плоскость Q, называется правило, по которому каждой точке плоскости P поставлена в соответствие единственная точка плоскости Q.

Отображение плоскости принято обозначать следующим образом: . Если точка M плоскости P отображается в точку плоскости Q , то это представляется как , при этом точка является образом точки M, а точка M - прообразом точки .





Определение
5.2.4.

Отображение называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Q имеет прообраз и притом единственный.




Определение


5.2.5.

Отображение плоскости P в саму себя называется преобразованием плоскости P .




Определение
5.2.6.

Последовательное выполнение преобразований и называется произведением (или композицией) этих преобразований.

Произведение операторов записывается в виде . Заметим, что в общем случае это произведение не коммутативно, но ассоциативно.





Определение


5.2.7.

Преобразованием, обратным взаимно-однозначному преобразованию , называется оператор такой, что для каждой точки M плоскости P имеет место .


Определение
5.2.8.

Точка плоскости P, переводимая преобразованием сама в себя, называется неподвижной точкой для . Множество на P состоящее из неподвижных точек для называется неподвижным для .

Множество точек P переходящее при само в себя называется инвариантным множеством преобразования .




Download 1,37 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish