Преобразования плоскости §

§5.3. Линейные операторы на плоскости

Пусть на плоскости с декартовой системой координат каждой ее точке поставлена в однозначное соответствие точка , то есть, согласно определению 5.2.6., задано преобразование этой плоскости . Пусть координатные представления радиус-векторов этих точек суть и , тогда координаты и будут некоторыми функциями от и и потому равенство можно рассматривать как координатное представление оператора , являющегося данным преобразованием плоскости в системе координат .

Далее мы будем рассматривать частные, но важные для приложений виды функций и .

Определение 5.3.1.

Оператор называется линейным оператором, если в каждой декартовой системе координат он задается формулами .

При помощи операций с матрицами линейный оператор может быть записан в виде , где матрица называется матрицей линейного оператора , являющейся его координатным представлением в .

Определение 5.3.2.

Оператор называется линейным однородным оператором, если он удовлетворяет определению 5.3.1. и, кроме того, . Если же , то оператор называется неоднородным.

Пример 5.3.1.

К линейным однородным операторам относятся: - оператор , действие которого сводится к умножению координат радиус-вектора прообраза на фиксированные действительные числа. Этот оператор называется “оператором сжатия к осям” или, просто, “сжатием к осям” и имеет в ортонормированном базисе матрицу , где положительные числа 1 и 2 - коэффициенты сжатия; - оператор ортогонального проектирования радиус-векторов точек плоскости на некоторую заданную ось, проходящую через начало координат.

Теорема 5.3.1.