Преобразования плоскости §

Для линейного однородного оператора справедливы соотношения:


1.
2.

Доказательство: В справедливости утверждения теоремы убедимся непосредственной проверкой, используя правила действия с матрицами. Например, для 1º имеем

Теорема доказана.

Теорема 5.3.2.

Если для некоторого оператора справедливы соотношения 1. 2. , то этот оператор линейный и однородный.

Доказательство: Пусть и - соответственно координатные разложения для прообраза и образа, тогда . Вводя обозначения и , получаем . И, окончательно, , или . Теорема доказана.

Отметим также, что образом вектора с в базисе является вектор с координатным представлением .
Из теорем 5.3.1. и 5.3.2. вытекают:

Следствие 5.3.1.

Столбцами матрицы линейного однородного оператора в базисе являются координатные представления векторов и .

Следствие 5.3.2.

Каждому линейному однородному оператору преобразования плоскости в конкретном базисе соответствует квадратная матрица второго порядка, а каждая квадратная матрица второго порядка задает в этом базисе некоторый линейный однородный оператор.

Задача 5.3.1.

Исходя из правил действия с матрицами, показать, что для линейных однородных операторов на плоскости справедливы утверждения: 1. Матрица произведения линейных однородных операторов равна произведению матриц сомножителей: . 2. Если есть оператор, обратный линейному однородному оператору , то .

Выясним теперь, как изменится матрица линейного однородного оператора при замене базиса. Имеет место

Теорема 5.3.3.

Пусть в системе координат некоторый однородный линейный оператор имеет матрицу . Тогда в системе координат этот оператор будет иметь матрицу , где - матрица перехода от к .

Доказательство: Пусть в исходной системе координат действие задается формулой , а в новой системе координат - , и пусть - матрица перехода от к с формулами перехода и . Подставляя два последних соотношения в первое и принимая во внимание утверждение теоремы 1.8.2. о невырожденности матрицы перехода (то есть, существование матрицы ), получаем, что или .

Наконец, вычитая последнее равенство почленно из равенства , в силу произвольности (согласно лемме 5.1.2.) приходим к соотношению . Теорема доказана.

Следствие 5.3.3.