Преобразования плоскости §

Каждое аффинное преобразование может быть представлено в виде произведения ортогонального преобразования и двух сжатий по взаимно ортогональным направлениям.

Доказательство: 1. В силу следствий 5.3.1. и 5.3.2., а также справедливости утверждений задачи 5.3.1. и примера 5.3.1., нам достаточно убедиться, что матрица каждого аффинного преобразования в любом ортонормированном базисе может быть представлена в виде произведения ортогональной матрицы и диагональной матрицы с положительными значениями диагональных элементов. 2. По теореме 5.4.11. существует ортогональный (но не обязательно нормированный) базис , в который данное аффинное преобразование переведет исходный ортонормированный базис . При этом существуют положительные нормирующие множители и такие, что А это означает, что - базис и притом ортонормированный. 3. С другой стороны, линейное преобразование , переводящее ортонормированный базис в ортонормированный базис , очевидно ортогональное и имеет в исходном базисе ортогональную матрицу . Тогда будут справедливы соотношения ,

из которых следует равенство . Тогда, в силу линейной независимости базисных векторов , мы имеем или, после транспонирования обеих этого равенства, . Таким образом, аффинное преобразование представимо в виде произведения ортогонального преобразования и оператора "сжатия к осям" (см. пример 5.3.1.) Теорема доказана.