Борьба с помехами при реконструкции изображения Эвристический метод

§5. Борьба с помехами при реконструкции изображения
1. Эвристический метод

Поняли, что при реконструкции изображения идет увеличения шума. Следовательно, появляются ложные пространственные частоты. Их нужно подавить.

В первую очередь были разработаны эвристические методы решения задачи реконструкции изображения. Для рассмотрения процесса реконструкции изображения в присутствии шумов представим процесс формирования изображения и его последующей реконструкции в виде последнего воздействия двух линейных систем на входной сигнал. Пусть имеется входной сигнал f(x), он входит в систему формирования изображения с импульсным откликом h, следовательно, на выходе q(x), который будет сверткой линейных систем







h(x)

h_ВОССТ(x)





h (x) – реконструирующая система
После реконструкции получаем:

Чтобы реконструкция была идеальной, необходимо, чтобы h (х)=(х), тогда
Точная реконструкция изображения, когда (x) (x) будет, если L (х)=(х). Или если мы применим преобразование Фурье: Н () получаем идеальную передаточную функцию (идеальное изображение).

В
частотной области или получаем идеальную передаточную функцию (идеальное изображение).

при
Следовательно, возможно бесконечное увеличение шума. Для его ограничения вводится граничная частота и некоторая частота среза с (- ; ) эквивалентно ограничению пределов интегрирования при обратном преобразовании Фурье. Поэтому вводят индикаторную


, Следовательно
Ограничение полосы частот промежутком (- ; ) эквивалентно ограничению пределов интегрирования при обратном преобразовании Фурье.
Увеличение ведет к увеличение шума, а уменьшение ведет к невозможности восстановления высоких частот, т.е. изменяя значения можно изменять соотношение между качеством восстановления и величиной шума. ( шум  качество), поэтому изменим функцию
На отрезке (- ; )  , а на углах она закругляется и на , как показано на рисунке. Введение функции К() является компромиссом между уменьшением шума и увеличением качества на высоких частотах.



функция К() – сглаживает любые точки выброса и имеет разные виды.
Таким образом можно бороться и с неоднозначностью и с единственностью решения. Функция К() получила название “окна” (окна Чебышева, окна Хейминга, окна Гаусса).
Эвристика: каждый ученый подбирал фильтр для своей задачи. Это определялось видом передаточной функции, спектральными характеристиками сигнала, шумами.
У К() всегда есть параметр, например, у фильтра Гаусса ; изменяя уравнение и параметр, можно найти свой фильтр. Умножение передаточной функции инверсного фильтра на К() соответствует отысканию сглаженного решения f(x). При выборе формы весовых функций (окон) часто требуется не только хорошая аппроксимация функции , но и такое сгибание этой функции (наклон), при котором передаточная функция стремится к нулю при _с. Это необходимо, чтобы не получить большого усиления помехи.
У эвристического метода 2 недостатка:

1. 
   Чтобы найти оптимальный фильтр нужно перебрать много фильтров и параметров
   
2. 
   Неизвестно, когда остановиться, т.е. нет критерия качественности изображения.
   

Для того, чтобы исключить недостатки эвристического метода, и формализовать метод решения таких задач, Тихонов предложил метод регуляризации (метод регуляризации Тихонова).