Борьба с помехами при реконструкции изображения Эвристический метод

2. Метод регуляризации Тихонова

Стремление избавиться от произвольных факторов и определить общие методы решения некорректно поставленных задач привело к разработке метода регуляризации решения и понятия регулирующего оператора. Регуляризация решения состоит в построении семейства обратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра  (параметр регуляризации).Каждый оператор семейства дает решение корректной задачи, причем при  ошибка в измерениях данных  одновременно, реконструируемое изображение стремится к истинному решению (к объекту).

1. 
   Регуляризация решения уравнения типа свертки
   

Запишем уравнение типа свертки

Решение:

Тихонов ввел функцию:

‑ некий оператор, воздействующий на q(x),эквивалентно введению К().
Чтобы найти точное решение, нужно найти условия, которым должна удовлетворять функция R(,).
Свойства, которым должна отвечать функция R(,):
Оператор является регуляризирующим, если функция R удовлетворяет следующим условиям:

1. 
   R(,) должна быть определена на всей частотной оси для в области , (на всей вещественной оси)
   
2. 
   Для любого и ;
   
3. 
   Для любых : R(,)-четная по ,
   
4. 
   Для любых : R(,) при  
   
5. 
   При : R(,)1 не убывая (не может быть колебаний и осцилляций и функция должна возрастать)
   
6. 
   Для любых : (иначе не посчитаем обратное преобразование Фурье)
   
7. 
   Для любых 0: R(,)0 при .
   

Все свойства интуитивно понятны. Если “окно” не будет удовлетворять этим условиям, то не будет решения, т.е. ограничен класс выбора функций. Функция R(,), удовлетворяющая этим условиям, называется стабилизирующим множителем.
R(,) можно представить в виде:

Удобно изменять , как отдельную функцию.  ‑ просто число, которое изменяется от 0 до .
Такому R(,) соответствует передаточная функция восстанавливающего фильтра:
.
Q()- неотрицательная четная функция, которая отвечает свойствам:

1. 
   Q()0, при 0
   

Q(0)0

2. 
   Q(0)с0 при   :
   

Если мы используем такую функцию Q(), то можем получить некий стабилизатор R(,). Простейший вид Q():
Вид функции r0
Тихонов доказал теорему, что решение
то перебирая  от 0 до , обязательно найдется решение, минимизирующее разницу между ƒ и q:
,
А- стабилизирующий функционал, который зависит от  и Q.
Нужно, чтобы изображение от объекта отличалось на конечную величину. Тихонов доказал, что при выборе  перебором, можно добиться наличия устойчивого решения.
Реально процедура реконструкции объекта с использованием регуляризации Тихонова строится следующим образом:

1. 
   Выбирается некий стабилизатор Q; как правило 0, строится по этому алгоритму решение.
   
2. 
   После выбора Q, значение параметра регуляризации находится по невязке, если мы оцениваем отклонение правой части уравнения в метрике , то невязка определяется следующей формулой:
   

.
А – оператор формирования изображения, − реконструированное изображение, q – зарегистрированное изображение.
Сейчас при помощи невязки рассчитывается среднеквадратичное отклонение между изображением, измеренным в процессе наблюдения, и изображением, полученном в системе в предположении, что объектом является функция .

Нужно, чтобы невязка была min.

Тихонов доказал, что если следовать его процедуре, то всегда существует , при которой невязка min. Как правило: =0,52.
Если все подобрано правильно, то невязка равна среднеквадратичному отклонению функции G().
‑ среднеквадратичная погрешность измерения изображения.
Есть один частный случай метода регуляризации Тихонова: винеровская оптимальная фильтрация.

2.