Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

IV. VARIATSIYA KO’RSATKICHLARI Uslubiy ko’rsatmalar va namunaviy misollarni yechish

Ushbu mavzuni chuqur o’rganish uchun talaba amaliy mashg’ulot darslarida quyidagilarni bilishi va bajara olishi kerak:

-variatsiya mohiyatini va uni statistik o’rganish zaruriyatini;

-variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblashni;

-dispersiyani soddalashtirilgan usullarda hisoblashni;

-muqobil belgi dispersiyasini aniqlashni;

-guruhlar ichidagi, guruhlararo va umumiy dispersiyalarni hisoblashni;

-dispersiyalarni qo’shish qoidasidan foydalanib hodisalar o’rtasidagi bog’liqlikni o’rganishda qo’llashni;

-determinatsiya va empirik korrelyatsion nisbat koeffitsiyentlarini hisoblashni;

Yuqorida sanab o’tilgan variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblash uslubiyatini ko’rib chiqamiz.

^{Variatsion kenglik} R^{-to’plamdagi belgining eng katta x}_max ^{ va eng kichik}

x_min  <sup>variantalari orasidagi farqni ifodalaydi va quyidagicha aniqlanadi:

R  x</sup>max ^{ x}min

O’rtacha chiziqli chetlanish d -o’rganilayotgan belgining alohida birliklarini



x  x

f

o’rtacha miqdor bilan qanday farqlanishini tavsiflaydi. O’rtacha chizikli chetlanish oddiy va vaznli qatorlar uchun mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:

d  ;




n

d  _{ f} ,

bu yerda: x – variantalar; x –o’rtacha miqdor; n – to’plam birliklari soni;

f – variantalarning chastotalari;

Variatsiyaning asosiy ko’rsatkichlaridan biri dispersiya  ² dir. Bu ko’rsatkich

ham oddiy va vaznli qatorlar uchun hisoblanadi.

 ² 

x  x2 n

 ² 

x  2


x f
 f ^.

;
Variatsiyaning muhim ko’rsatkichi bu o’rtacha kvadratik chetlanish(  )dir.

O’rtacha kvadratik chetlanish dispersiyadan olingan kvadrat ildiziga teng bo’ladi:

  ;   .

Yuqorida bayon qilingan ko’rsatkichlar turli o’lchov birligida hisoblangan ko’rsatkichlarni taqqoslash imkoniyatini bermaydi. Bu masala variatsiyaning nisbiy ko’rsatkichlarini qo’llashni taqozo etadi.

Variatsiyaning nisbiy ko’rsatkichlari:

• 
  ^{ossillyatsiya koeffitsiyenti}v_R 
  

v_R

• 
  chiziqli variatsiya koeffitsiyentiv
  

 ^R 100 ;

x



v

d ^d 100 ;

d _x

• 
  variatsiya koeffitsiyenti
  

v  ^ 100.

1. 
   xmisol. Fakultet II kurs talabalarining yoshi bo’yicha taqsimoti quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi:
   

Talabalarning yoshi bo’yicha guruhlari, yil	17	18	19	20	21	22	23	Jami
Talabalar soni, kishi	10	70	80	100	120	160	90	630

Variatsiya ko’rsatkichlarini aniqlang.

Yechish.

Variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblashni soddalashtirish uchun yuqorida berilgan ma’lumotlar bo’yicha quyidagi jadvalni tuzamiz:

Talabalarning yoshi bo’yicha guruhlari, yil	Talabalar soni, kishi	xf			x  x		x  x f		x  x ^2		x  x ^2f
17 18 19	10 70 80	170 1260 1520	3,7 2,7 1,7				37 189 136		13,69 7,29 2,89		136,9 510,3 231,2
20 21 22 23	100 120 160 90	2000 2520 3520 2070		0,7 0,3 1,3 2,3				70 36 208 207		0,49 0,09 1,69 5,29		49,0 10,8 270,4 476,1
Jami	630	13060		-				883		-		1684,7

Variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblash tartibi
Talabalarning o’rtacha yoshini aniqlash uchun tortilgan o’rtacha arifmetik formula qo’llaniladi:

 x f

x  _{ f}

 ¹³⁰⁶⁰  20,7 yil.

630

Endi, variatsiya ko’rsatkichlarini yuqoridagi jadval natijalaridan foydalanib kuyidagi tartibda aniqlaymiz.

Variatsiya kengligi:

R  x_max  x_min  23 17  6 yil

O’rtacha chiziqli chetlanish:

Dispersiya:

d 



x - x

f

x


f
- x² f

 ⁸⁸³  1,4 yil.

630
1684,7

 ² 

f

O’rtacha kvadratik chetlanish:



630

 2,67.

  

Variatsiya koeffitsiyenti:

 1,63 yil.

v  ^ 100  ^1,63 100  7,9%.

x 20,7

Dispersiyani matematik xossalaridan foydalanib, uni “shartli moment” usulida ham hisoblash mumkin:

2

1
 ²  i² m  m² 

2. 
   misol. Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning bo’ylari quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi:
   

Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning bo’yi bo’yicha guruhlari, sm	Harbiy xizmatga chaqiriluvchilar soni, kishi
143-146	1
146-149	2
149-152	8
152-155	26
155-158	65
158-161	120
161-164	181
164-167	201
167-170	170
170-173	120
173-176	64
176-179	28
179-182	10
182-185	3
185-188	1
	1000

Dispersiyani “shartli moment” usulida hisoblang.

Yechish.

Dispersiyani hisoblashni soddalashtirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz.

Dispersiyani “shartli moment” usulida hisoblash tartibi

Harbiy xizmatga chaqiriluv- chilarning bo’yi bo’yicha guruhlari, sm.	Harbiy xizmatga chaqiri- luvchi- larning soni, kishi	Interval o’rtasi x	x  A A=165,5	x  A i i =3	x  A  f i	 ^x^^A2  i   f  
143-146 146-149 149-152 152-155 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 173-176 176-179 179-182 182-185 185-188	1 2 8 26 65 120 181 201 170 120 64 28 10 3 1	144,5 147,5 150,5 153,5 156,5 159,5 162,5 165,5 168,5 171,5 174,5 177,5 180,5 183,5 186,5	- 21 - 18 - 15 -12 -9 - 6 - 3 0 3 6 9 12 15 18 21	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7	-7 -12 - 40 -104 -195 -240 -181 0 170 240 192 112 50 18 7	49 72 200 416 585 480 181 0 170 480 576 448 250 108 49
Jami	1000	-	-	-	10	4064

Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning o’rtacha bo’yi “shartli moment” usuli orqali quyidagicha aniqlanadi:

_ ^{x  A}  _f


x  m₁i  A

 

x  i ^{ i }

f

 A  3 

10

1000

 165,5  165,53sm.

Demak, dispersiya quyidagiga teng:

 ²  i² m

 m² 

1

2
2 ^ 4064

 ¹⁰ 2 ^ _{ }

 3 

    9  4,064  0,0001

 9  4,0639  36,5751

_1000

1000  _

yoki

 ^{x  A} 2

^

 ²  i^{2 }

 ^f

i
^  x  A² 

f

4064

1000

 3²  165,53 165,5²  36,5751

Muqobil belgilar dispersiyasini hisoblashda ma’lum xususiyatga ega bo’lgan ^{belgilar salmog’i} p ^{bo’lsa, miqdori 1, shu xususiyati mavjud bo’lmagan belgilar}

salmog’i

q  1 p

ga teng, miqdori esa 0 ga teng, deb olinadi. Muqobil belgi o’rtacha

salmog’i quyidagi ifodaga teng:

_{x }  xf

 f

_ 1 p  0  q _{ p .}

p  q

Muqobil belgi dispersiyasi quyidagi formula orqali aniqlanadi:

p
 ² 

1 p² p  0  p²  q p  q

 pq.

5-misol. Tuman soliq inspeksiyasi xodimlari tomonidan 200 ta tijorat do’konlarining moliyaviy holati tekshirilganda 50 tasida qonun buzilganligi aniqlandi. Muqobil belgi dispersiyasini aniqlang.

Yechish.

Maxsus belgining salmog’i:

p  ⁵⁰  0,25

200

bu xususiyatga ega bo’lmagan belgining salmog’i esa
q  1 p  1 0,25  0,75 ga teng.

Bundan muqobil belgi dispersiyasi:

p


2  p  q  0,25  0,75  0,1875 yoki 18,75% ga teng.

i

Dispersiya umumiy, guruhlar ichidagi va guruhlararo turlarga bo’linadi.

Kuzatilayotgan to’plam birliklarida barcha omillar ta’sirida hosil bo’lgan variatsiya umumiy dispersiya orqali o’rganiladi va u quyidagi formula bilan hisoblanadi:

x  x ² f

 ²  .

 f

Guruhlararo dispersiya orqali o’zgaruvchi belgi miqdorlarining omil (guruhlashga asos bo’lgan) belgi ta’sirida yuzaga kelgan variatsiya o’rganiladi va u quyidagi formula orqali aniqlanadi:

 ² 

_x

• 
  x n
  

.

_n

Qolgan omillar ta’sirida yuzaga keladigan variatsiya guruhlar ichidagi dispertsiya deyiladi va kuyidagi formula orqali hisoblanadi:

 ²n

 ²  ⁱ .

 n

4. 
   misol. Ishchilarning tarif razryadlari va mehnat unumdorligi quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi.
   

Tarif razryadlari	Ishchilar soni, kishi	Mehnat unumdorligi, dona
3 4 5	5 4 3	100,120, 95,110,125 120,120,140,160 160,170,180

Aniqlang:

1. 
   guruhlar ichidagi dispersiyalarni;
   
2. 
   guruhlar ichidagi dispersiyalarning o’rtachasini;
   
3. 
   guruhlararo dispersiyani;
   
4. 
   umumiy dispersiyani.
   

Yechish.

Har bir guruhdagi o’rtachani oddiy o’rtacha arifmetik formula yordamida aniqlaymiz.

 x

x 

n_{x } 100 120  95  110 125 _{ 110 дона;}

1 <sub>5

x </sub> 120 120 140 160 _{ 135 дона;}

2 ₄

_{x } 160  170 180 _{ 170}

3 ₃

дона.

Guruhlar ichidagi dispersiyalarni hisoblaymiz.



x  x 2

² _  i


i

n



2


100 110²  120 110²  95 110²  110 110²  125 110²

1 ₅ 

_ 100  100  225  225 _ 650 _{ 130;}

5 5



2


120 135²  120 135²  140 135²  100 135² 2 <sub>4

</sub> 1100

4

 275;



2


160 170²  170 170²  180 170² 3 <sub>3

</sub> 100  100

3

_ 200

3

 66,7.

Guruhlar ichidagi dispersiyalarning o’rtachasi teng:

 ² 

 ²n

i
 n

130  5  275  4  3 66,7

5  4  3

_ 650 1100  200

12

_ 1950

12

 162,5.

Guruhlararo dispersiyani topish uchun umumiy o’rtachani aniqlaymiz.

_{x } 110  5 135  4 170  3 _ 550  540  510 _ 1600 _{ 133.}

12 12 12


Guruhlararo dispersiya quyidagiga teng:

 ² 

110 133²  5  135 133²  4  170 133²  3 12

_ 2645  16  4107 _ 6768 _{ 564.}

12 12
Dispersiyalarni qo’shish qoidasidan foydalanib, umumiy dispersiyani hisoblaymiz

 ²   ²   ²  162,5  564  726,5.

Dispersiyalarni qo’shish qoidasi o’rganilayotgan belgilarning bog’liqlik darajasini baholash uchun qo’llaniladi. Ma’lumki, omil belgi ta’siri natijaviy belgining o’zgarishiga olib keladi. Omil belgining ta’sirini aniqlash uchun determinatsiya koeffitsiyenti va empirik korrelyatsion nisbatdan foydalaniladi.


Determinatsiya koeffisiyenti:

2

 ²  .

_ 2

Determinatsiya koeffisiyenti guruhlararo variatsiyaning umumiy variatsiyadagi salmog’ini ifodalaydi.

Empirik korrelyatsion nisbat:
  .

Empirik korrelyatsion nisbat omil belgi va natijaviy belgi orasidagi bog’liqlik zichligini ifodalaydi.

Bizni misolimizda empirik korrelyatsion nisbat teng:
     0,88 ёки 88%.

Demak, mexnat unumdorligi variyatsiyasining 77,6 foizi tarif razryadining variyatsiyasi natijasida yuzaga chiqadi.

Dispersiyalarni qo’shish qoidasi muqobil belgilar o’rtasidagi bog’liqlikni o’rganishda ham qo’llaniladi:

guruhlar ichidagi dispersiya,

p
 ²  p1 p .

guruhlar ichidagi dispersiyaning o’rtachasi,

_{ 2 }  p 1  p n _.

^p  n

guruhlararo dispersiya,

_{ 2 } p  pn _.

p _n

Umumiy dispersiya,

 ²  p  1 p.

4. 
   
   p
   misol. Talabalar soni va a’lochilar salmog’i to’g’risida quyidagi ma’lumotlar
   

berilgan:

Institutlar	Bitiruvchi talabalar soni, kishi	A’lochi talabalar salmog’i, (%)
1 2 3 4	1500 3250 2140 1150	13 35 25 12
Jami	8040

Yuqoridagi ma’lumotlar asosida, a’lochi talabalar salmog’ining guruhlararo, guruhlar ichidagi va umumiy dispersiyalarini aniqlang.

Yechish.

1. 
   Institutlar bo’yicha a’lochilar salmog’ini aniqlaymiz.
   

_{p } 0,13 1500  0,35  3250  0,25  2140  0,12 1150 _ 2005,5 _{ 0,249}

yoki

24,9%

8040 8040

2. 
   Umumiy dispersiya esa quyidagicha aniqlanadi:
   

 ²  0,2491 0,249  0,187.

3. 
   Guruhlar ichidagi dispersiyalar:
   

p₁


²  0,13 1 0,13  0,113;

p₂


²  0,35  1 0,35  0,228;

p₃


²  0,25  1 0,25  0,188;

p₄


²  0,12  1 0,12  0,106.

4. 
   Guruhlar ichidagi dispersiyalarni o’rtachasini aniqlaymiz:
   

_{ 2 } 0,1131500  0,228  3250  0,188  2140  0,106 1150 _ 1434,72 _{ 0,178.}

^p 8040

8040

5. 
   
   
   Guruhlararo dispersiya quyidagiga teng:
   

p
 ² 

0,113  0,249² 1500  0,35  0,249²  3250  0,25  0,249²  2140  0,12  0,249² 1150 8040

 ^73,53  0,009.

8040

Natijani tekshirib ko’ramiz,

p
 ²  0,178  0,009  0,187.

Variatsiyani batafsil o’rganish uchun assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlari ham qo’llanadi:

Assimmetriya koeffisiyenti:

A  ^3 ,

bu yerda,

3 _ 3

₃  uchinchi tartibli markaziy moment.

Ekssess koeffisiyenti:

₃ 

x

• 
  x ³ f
  

 f ^.

E  ^4 . ,

k _ 4

bu yerda,

₄  ^{to’rtinchi tartibli markaziy moment.}

₄ 

x

• 
  x ⁴ f
  

 f ^.

4. 
   misol. Quyidagi ma’lumotlarga asoslanib assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlarini aniqlang.
   

Tovar aylanmasi bo’yicha do’konlar guruhi, mln so’m	50-60	60-70	70-80	80-90	Jami
Do’konlar soni	7	15	6	4	32

Yechish:

Assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlarini aniqlash uchun quyidagi jadvalni tuzamiz;

Tovar aylanmasi bo’yicha do’konlar guruhi, mln so’m	Do’konlar soni	Interval o’rtasi	xf	x  x 	x  x ^2f	x  x ^3f	x  x ^4f
A	1	2	3	4	5	6	7
50-60	7	55	385	-12,2	1041,88	12710,95	155073,45
60-70	15	65	975	-2,2	72,6	159,75	351,38
70-80	6	75	450	7,8	365,04	2847,3	22209,03
80-90	4	85	340	17,8	1267,36	22559	401550,32
	32	-	2150	-	2746,88	38277	579184,18

1. 
   Tovar aylanmasining o’rtacha qiymati:
   

2. 
   Dispersiya:
   

_ x f

x 

_ f

_ 2150

32

 67,2 mln

so'm.

 ² 

x

• 
  x ² f
  

 f

_ 2746,88

32

 85,84.

3. 
   O’rtacha kvadratik chetlanish:
   

  

 9,265 mln

so'm.

4. 
   Uchinchi tartibli markaziy moment:
   

₃ 

x

• 
  x ³ f
  

 f

_ 38277

32

 1196,16.

5. 
   Assimmetriya koeffisiyenti:
   

A  ^3 3 _ 3

 ^1196,16  15,04.

9,265³

Demak, taqsimot o’ng tomonlama assimmetriyaga ega bo’ladi.

6. 
   To’rtinchi tartibli markaziy momentni quyidagi formula orqali aniqlaymiz:
   

x  x ⁴ f

₄ 

_ f

 ^579184,18  18099,51.

32

7. 
   Taqsimotning ekssess ko’rsatkichi teng:
   

E  <sup>4

k</sup> _ 4

_ 18099,51 _{ 2,456.}

9,265⁴

Shunday qilib,

Ek  0 shuning uchun taqsimot cho’qqisi pastdir.