Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

V-bob. TANLAB KUZATISh
Uslubiy ko’rsatmalar va namunaviy misollarni yechish
Ushbu mavzu bo’yicha. talaba olgan nazariy bilimlarini amaliyotda qo’llash hamda mustahkamlash uchun quyidagilarni bilishi va bajara olishi talab qilinadi:

1. 
   tanlab kuzatish mohiyati va uni qo’llash zaruriyatini;
   
2. 
   tanlama reprezentativligi va uni ta’minlaydigan tanlash usullarini;
   
3. 
   tanlama ko’rsatkichlarida yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xatoni hisoblashni;
   
4. 
   tanlamaning zaruriy hajmini aniqlashni.
   

O’rganilishi lozim bo’lgan to’plam bosh to’plam (N), o’rganish uchun undan tanlab olingani esa tanlanma to’plam (n), deb ataladi.

Agarda tanlanmada bosh to’plamning muhim xususiyatlari namoyon bo’lsa, u reprezentativ deyiladi.

Statistikada tanlash xatosi va uning chegarasi aniqlanadi. Ular quyidagicha hisoblanadi:

1. 
   Ixtiyoriy tanlanma ko’rsatkich (x) xatosining chegarasi (_x) uning o’rtacha xatosi (_x) bilan ishonch koeffitsiyentining (t) ko’paytmasiga teng:
   

_x  t  _x

Ishonch koeffitsiyentining berilgan qiymatlari uchun ehtimol darajasini hisoblashni qulaylashtirish maqsadida ular o’rtasidagi bog’lanishni ifodalaydigan maxsus jadval tuzilgan. Amaliy yoki o’quv masalalari yechilayotganda ishonch koeffitsiyentining asosan quyidagi qiymatlari keng qo’llaniladi:

t	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00
P(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Jadvaldan tanlamaning miqdori (n) yetarlicha katta bo’lgan hollardagina foydalanish mumkin. Agar tanlamaning miqdori n30 bo’lsa, u kichik tanlama, deb yuritiladi. Kichik tanlama uchun ehtimol faqat ishonch koeffisiyentiga emas, balki

tanlamaning hajmiga ham bog’liq ravishda aniqlanadi. Masalan, n =10 bo’lganda:

t	1	2	3
P(t)	0,657	0,923	0,985

2. 
   Tanlash xatosi asosan o’rtacha miqdor va hissa(salmoq)ni tavsiflaydigan ko’rsatkichlar uchun topiladi.
   
   1. 
      Tanlash xatosi o’rtacha miqdor uchun(µ_x) tanlash usullari va sxemalariga qarab quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
      

Tanlash usullari	Tanlash sxemalari
	Takrorlanadigan		Takrorlanmaydigan
Tasodifiy tanlash	^~x ^	 2 n	^~x ^	 ^2  n (1 ) n N
Mexanik tanlash	Qo’llanilmaydi		^~x ^	 ^2  n (1 )
Tipologik	^~x ^	 2	^~ ^	 ^2 n (1  )
		n	x	n N
Seriyalab	Qo’llanilmaydi		^~x ^	 ^2  r ^x (1 ) r R

1. 
   misol. Import qilinayotgan yuklarning vaznini bojxonada tasodifiy takrorlanuvchi usul bilan tekshirish uchun 200 dona mahsulot tanlab olindi. Natijada 4 gramm o’rtacha kvadratik chetlanish bilan uning o’rtacha vazni 30 gramm ekanligi aniqlandi. 0,997 ehtimol bilan mahsulot o’rtacha vaznining bosh to’plamdagi ishonch chegaralarini aniqlang.
   

Yechish. Dastlab tanlab olingan to’plam uchun chegaraviy xatoni aniqlaymiz.

Ma’lumki ehtimollik P=0,997 bo’lganda, ishonch koeffisiyenti t = 3 bo’ladi.

O’rtacha uchun chegaraviy xato(takrorlanadigan sxemada):

 _x  t 

 3  0,848

Bosh to’plam o’rtachasining ishonch intervalini aniqlaymiz:


x

x
~x    x  ^~x   .

30  0,848  x  30  0,848 , 29,15  x  30,85.

Demak 0,997 ehtimol bilan aytish mumkinki, bosh to’plamdagi mahsulotlar o’rtacha vazni 29,15 - 30,85 gramm oralig’ida bo’lishi kutiladi.

2. 
   misol. Jizzax shahrida 250 ming oila yashaydi. Barcha oiladagi o’rtacha bolalar sonini aniqlash maqsadida 2%li tasodifiy takrorlanmaydigan tanlash usuli
   

asosida oilalar kuzatilgan. Natijada, bolalar soniga qarab oilalarning quyidagi taqsimlanishi aniqlandi:

Oilalardagi bolalar soni	0	1	2	3	4	5
Oilalar soni	1000	2000	1200	400	200	200

0,954 ehtimol darajasi bilan bosh to’plamdagi oilalardagi bolalarning o’rtacha sonining ishonch chegaralarini aniqlang.

Yechish. Avvalambor oilalardagi o’rtacha bolalar soni va dispersiyani aniqlash lozim. Buni quyida keltirilgan yordamchi jadval ma’lumotlaridan foydalanib hisoblash mumkin:

Oiladagi bolalar soni, ( x )	Oilalar soni ( f )	x f	x  ^~x	(x  ^~x )^2	(x  ^~x )^2 f
0 1 2 3 4 5	1000 2000 1200 400 200 200	0 2000 2400 1200 800 1000	-1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5	2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 12.25	2250 500 300 900 1250 2450
jami	5000	7400	-	-	7650

Oiladagi o’rtacha bolalar soni:

_{x  } x f

_ f

 ⁷⁴⁰⁰  1,5 kishi.

5000

Tanlanma to’plam dispersiyasi 1,53 ga teng.

x  ^~x ² f

7650

^ x ^ _{ f}

  1,53

5000

Ma’lumki, ehtimol R=0,954 bo’lganda, ishonch koeffisiyenti t=2ga teng bo’lishligi. Tanlama to’plam uchun o’rtacha xato 0,035 ga teng:



ⁿ 


_ 2

 1  

^1,53 


1

⁵⁰⁰⁰ 






 0,0173

^x n _ N _

5000 _

250000 _

 _x t    2  0,0173  0,035 ga teng.

Bosh to’plam uchun o’rtacha miqdor ishonch intervali quyidagi oraliqda bo’lishi

_kutiladi: ^~x  _x  x  ^~x  _x ,

1,5  0,035  x 1,5  0,035, yoki1,465  x 1,535

Shunday qilib, 0,954 ehtimol bilan aytish mumkinki, shaharda yashovchi oilalardagi bolalarning o’rtacha soni 1,465 ta boladan 1,535 ta bolagacha intervalda

bo’lishi kutiladi.

2. 
   Hissa (salmoq) uchun tanlash xatosi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
   

Tanlash usullari	Tanlash sxemalari
	Takrorlanadigan				Takrorlanmaydigan
Tasodifiy tanlash		w		w(1  w) n		w		w(1 w) (1  n ) n N
Mexanik tanlash	Qo’llanilmaydi					w		w(1 w) (1  n ) n N
Tipologik		w		w(1  w) n		w		w(1 w) (1  n ) n N
Seriyalab	Qo’llanilmaydi						w	  ^2  r ^w (1 ) r R

3. 
   misol. Shahar do’konlariga keltirilgan televizorlardan 1000 tasining sifati tekshirildi. Tekshirish natijasida 100 ta televizorda defekt(nuqson) borligi aniqlandi. 0,954 ehtimol bilan televizorlar umumiy sonida nuqsonga ega bo’lgan televizor salmog’ining chegarasi aniqlansin.
   

Yechish. Birinchi navbatda umumiy tekshirilgan televizorlardan defekt(nuqson)li televizorlar salmog’ini aniqlaymiz,

^{w  m / n  100 :1000  0,1}yoki 10%.

Salmoq uchun tanlash o’rtacha xatosi quyidagi formuladan aniqlanadi:

_w  

 0,03

0,954 ehtimol bilan chegaraviy xato quyidagicha hisoblanadi:

^{w  t  w}  2  0,03  0,06

Bosh to’plamdagi nuqsonga ega bo’lgan televizorlar salmog’i uchun ishonch intervali aniqlanadi:

w  _w  Р  w  _w

0,1 - 0,06  R  0,1 + 0,06

0,04  R  0,16 yoki 4,0%  R  16,0 %.

Shunday qilib, 0,954 ehtimol bilan tasdiqlash mumkinki, 1000 ta televizordan 4 foizdan 16,0 foizgachasi nuqsonga ega bo’lishi kutiladi.

Tanlab kuzatishni tashkil qilish va o’tkazishda eng muhim vazifalardan biri tanlama to’plamning zaruriy hajmini aniqlash hisoblanadi.

Tanlama to’plamning zaruriy hajmini aniqlash yuqorida keltirilgan jadvaldagi formulalarni qo’llash yordamida hisoblanadi.

Tanlash takrorlanadigan sxemada o’tkazilsa tanlamaning zaruriy hajmi quyidagiga teng:

t   _x ,

bundan

_t 2_ 2



n  ₂

x

Bu tengsizlikdan ko’rinadiki, tanlamaning zaruriy miqdori kamida

_t 2_ 2


n  ₂

x

bo’lishi kerak.

Tanlash takrorlanmaydigan sxemada o’tkazilsa, “n” teng:

t ² ² N



n  _{2 2 2} .

x ^{N  t }

Ishonch koeffisiyenti (t) ehtimolga ko’ra jadvaldan topiladi. Agar bosh to’plam belgisining dispersiyasi noma’lum bo’lsa, dispersiya oldin o’tkazilgan xuddi shunga o’xshash tekshirishlarning natijalariga yoki sinovlar o’tkazish yo’li bilan aniqlanadi.

4. 
   misol. Chorvachilikka ixtisoslashgan fermer xo’jaligida 10 000 bosh sigir mavjud. Ehtimollik darajasi 0,997 va o’rtacha kvadrat tafovut 80 bo’lganda o’rtacha yillik sut miqdori aniqlanganda yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato 2 litrdan oshmasligi uchun nechta sigir tanlab kuzatish uchun olinishi kerak?
   

Yechish. Demak N = 10000, R(t) = 0,997 (t = 3), ² = 80 va _x = 2 litr bo’lganda tanlash sxemasiga qarab tanlama to’plamning zaruriy miqdori quyidagicha hisoblanadi:

1. 
   takrorlanadigan sxemada:
   

_t 2_ 2

n 

_ 3²80

 180;

2


2 2




xt ² ² N

3² 80 10000

2. 
   takrorlanmaydigan sxemada:
   

n 


x
 ² N  t ² ²

  177.

²² 10000  3² 80

Demak, 0,997 ehtimol bilan yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan tanlama o’rtachasining xatosi 2 litrdan oshmasligi uchun tasodifiy tanlash usuli bilan kamida 180 ta (takrorlanadigan sxemada) yoki 177 ta (takrorlanmaydigan sxemada) sigirlar tanlama to’plamga olinishi kerak.

Salmoqning xatosiga (_r) asoslanib, tasodifiy tanlash usuli uchun tanlanmaning zaruriy miqdori quyidagicha aniqlanadi:

takrorlanadigan sxemada:

t ²w(1 w)

takrorlanmaydigan sxemada:

n  ₂



w

t ²w(1  w)N

n 

w

 ² N  t ²w(1  w)

5. 
   misol. Fermer xo’jaligidagi 10 000 ta sigirlarning 50 foizi zotli sigirlar ekanligi aniqlandi. Ushbu salmoqni aniqlashdagi yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato 0,954 ehtimollik darajasi bilan 8 foizdan oshmagan holda 10 000ta sigirdan nechta zotli sigirlar tanlab olinishi kerak?
   

Yechish. N = 10000, P(t) = 0.954 (t = 2),  = 0.5 va _w = 0,08 bo’lganda tanlash shakliga qarab:

1. 
   takrorlanadigan sxemada
   

t ²w(1 w) 2²  0,5(1 0,5)


n  ₂ 

w

0,08²

^{ 156} bosh sigir;

2. 
   takrorlanmaydigan sxemada
   

t ²w(1 w)N 2²  0,5(1 0,5) 10000


w
^{n }  ² N  t ² w(1 w) ^ 0,08² 10000  2²  0,5(1 0,5) ^{ 154 bosh sigir.}