Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

VII bob. DINAMIKA QATORLARI
Uslubiy ko’rsatmalar va namunali misollarni yechish
Talaba dinamika qatorlari bo’yicha olgan nazariy bilimlarini amaliyotda qo’llashi, ular bo’yicha statistik ko’rsatkichlarni hisoblashi, tahlil qilishi va ulardan tegishli xulosalar chiqarishi uchun quyidagilarni bilishi lozim:

• 
  dinamika qatorlarining mohiyati va turlarini;
  
• 
  bazisli va zanjirsimon ko’rsatkichlarni hisoblashni;
  
• 
  dinamika qatorlarini tahlil qilish ko’rsatkichlarini hisoblashni;
  
• 
  dinamika qatori ko’rsatkichlarining o’rtacha darajasini hisoblashni;
  
• 
  dinamika qatorlarida umumiy trendni aniqlash usullarini;
  
• 
  mavsumiylik indeksini hisoblashni;
  
• 
  olingan natijalar bo’yicha umumiy xulosa berishni. Dinamika qatorlari berilish usuliga qarab 2 turga bo’linadi:
  

1. 
   Momentli (paytli) dinamika qatorlari;
   
2. 
   Intervalli (davriy) dinamika qatorlari.
   

O’rganilayotgan hodisa va jarayonlarning dinamikasini miqdoriy tomondan baholashda quyidagi statistik ko’rsatkichlar qo’llaniladi:

• 
  mutlaq qo’shimcha o’zgarish;
  
• 
  o’zgarish sur’ati;
  
• 
  qo’shimcha o’zgarish sur’ati;
  
• 
  bir foiz o’zgarishning mutlaq mohiyati.
  

Mutlaq o’zgarish, deb dinamika qatorlari ikki darajalarining farqiga aytiladi va u quyidagicha aniqlanadi:

bazis usulda: zanjirsimon usulda:

^Yb ^{ Y}i ^Y 0 <sup>;

Y</sup>z ^{ Y}i ^Yi1 ^.

Bu yerda: _{Y 0} – baza, deb qabul qilingan taqqoslanadigan had (daraja);

_{Y i} - taqqoslanuvchi had (daraja);

_Yi1 -taqqoslanuvchi haddan oldin keluvchi taqqoslanadigan had (daraja).

O’zgarish sur’ati, deb qatorning ikki darajasi nisbatiga aytiladi va u quyidagi formulalar asosida hisoblanadi:

bazis usulda

B

K

o`z

 ^Yi 100 ;

Y

zanjirsimon usulda

0

K

Zo'z

 ^Yi 100 ;

Y

i1

Qo’shimcha o’zgarish sur’ati, deb hodisalarning mutloq qo’shimcha o’zgarishini dinamik qatorlarning boshlang’ich hadiga nisbatiga aytiladi va u quyidagi formulalar asosida hisoblanadi:

bazis usulda,

B

K

q.o' z

 ^YB 100

^Y 0

B

yoki _К

q.o'z

K

O`Z

100 ^;

zanjirsimon usulda,

Z

K

q.o'z

 ^YZ 100 yoki

 К
Yi1

Z

K

q.o' z

z o'z

100 ^.

Bir foiz qo’shimcha o’zgarishini mutlaq mohiyati zanjirsimon mutlaq o’zgarishini qo’shimcha o’zgarish sur’atiga nisbati sifatida quyidagi formula bilan hisoblanadi.

A% 

^Yz

KZ

_ ^Yi ^{ Y}i1

Yi ^{ Y}i1

 0,01._Y
i1

q.o'z

(

^Yi1

) 100

1. 
   misol. Mamlakatda yetishtirilgan sholi bo’yicha quyidagi ma’lumotlar berilgan(ming tonna):
   

Yillar	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
Sholi yalpi hosili, ming tonna	150,3	175,1	179,8	181,2	195,7	220,3	221,3	220,5

Aniqlang:

Dinamika qatorlarining analitik ko’rsatkichlarini:

1. 
   mutlaq qo’shimcha o’zgarish va o’zgarish sur’atlarini (bazis va zanjirsimon usulda);
   
2. 
   qo’shimcha o’zgarish sura’tini (bazis va zanjirsimon usulda);
   

d) 1% qo’shimcha o’zgarishni mutlaq qiymatini.

Yechish.

Mutlaq o’zgarish bazis usulda quyidagicha hisoblanadi:

Y_b  Y₁ Y₀ 175,1150,3  24,8 ming tonna;

Y_b  Y₂ Y₁ 179,8 150,3  29,5 ming tonna;

Y_b  Y₃ Y₂ 181,2 150,3  30,9 ming tonna va h.k.

Mutlaq o’zgarish zanjirsimon usulda quyidagicha hisoblanadi:

Y_z  Y₁ Y₀ 175,1150,3  24,8 ming tonna;

Y_z  Y₂ Y₁ 179,8 175,1  4,7 ming tonna;

Y_z  Y₃ Y₂ 181,2 179,8 1,4 ming tonna va h.k.

O’zgarish sur’ati bazis usulda quyidagicha hisoblanadi:

K ^B  ^Y1 100  ^175,1 100  116,5% ;

Y
o'z

0

150,3

K ^z  ^Y2 100  ^179,8 100  119,6% ;

Y
o'z

0

150,3

K ^z  ^Y3 100  ^181,2 100  120,5%

va h.k.

Y
o'z

0

150,3

O’zgarish sura’ti zanjirsimon usulda quyidagicha hisoblanadi:

K ^z  ^Y1 100  ^175,1 100  116,5% ;

Y
o'z

0

150,3

K ^z  ^Y2 100  ^179,8 100  102,7% ;

Y
o'z

1

175,1

K ^z  ^Y3 100  ^181,2 100  100,8% va h.k.

Y
o'z

2

179,8

1% qo’shimcha o’zgarishni mutlaq qiymati quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

A%  0,01Y_i1
Ushbu ko’rsatkichni yillar bo’yicha hisoblaymiz:

2008 yilda 00,1150,3  1,503 ming tonna;

2009

yilda 00,1175,1  1,751ming tonna;

2010 yilda 00,1333,7  3,34 ming tonna va h.k.

Bu ko’rsatkich faqat zanjirsimon usulda hisoblansa ma’noga ega bo’ladi.

Mamlakatda yetishtirilgan sholi dinamikasi

Yillar	Sholi yalpi hosili, ming tonna	Mutlaq qo’shimcha o’zgarish, ming tonna		O’zgarish sur’ati,%		Qo’shimcha o’sish sur’ati,%		1% qo’shim- cha o’zgari- shning mutloq qiymati
		bazis usulda	zanjir- simon usulda	bazis usulda	zanjir- simon usulda	bazis usulda	zanjir- simon usulda
2007	150,3	0	-	100,0	-	0	-	-
2008	175,1	24,8	24,8	116,5	116,5	16,5	16,5	1,503
2009	179,8	29,5	4,7	119,6	102,7	19,6	2,7	1,751
2010	181,2	30,9	1,4	120,5	100,8	20,5	0,8	1,798
2011	195,7	45,4	14,5	130,2	108,2	30,2	8,2	1,812
2012	220,3	70,0	24,6	146,6	112,5	46,6	12,5	1,957
2013	221,3	71,0	1,0	147,2	100,4	47,2	0,4	2,203
2014	220,5	70,2	-0,8	146,7	99,6	46,7	-0,4	2,213

Hodisa va jarayonlarning dinamikasiga umumlashtirib baho berish uchun qatorning o’rtacha ko’rsatkichlari hisoblanadi.

Intervalli (davriy) dinamika qatorlarining o’rtacha darajasi quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

_{Y  Y1}  _{Y 2}  ...  _{Yn  }Y _.

n n

Yetishtirilgan sholining o’rtacha darajasi teng.

_{Y } 150,3  175,1  179,8  181,2  195,7  220,3  221,3  220,5  _ 1544,2 _{ 193,0 ming t.}

8 8

Moment(payt)li dinamika qatorlarining hadlari orasidagi sanalar

Y

teng bo’lsa, o’rtacha daraja o’rtacha xronologik formula asosida aniqlanadi.

1

Y  ²

1 ^{ Y} 2

 ...  ¹

Y
₂ n

n 1

2. 
   misol. Yilning birinchi yarimida qurilish materiallarining qoldig’i to’g’risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan, ming so’m:
   

1/I	1/II	1/III	1/IV	1/V	1/VI	1/VII
8200	7260	6180	5160	4130	4110	3900

Birinchi yarim yillikdagi qurilish materiallarining o’rtacha oylik qoldiq qiymatini quyidagicha aniqlaymiz:

1
¹ Y  Y
 ...  ¹ Y

⁸²⁰⁰  7260  6180  5160  4130  4110  ³⁹⁰⁰

Y  ²

2

n  1

2 _ 2 2 _

7  1

n
 ³²⁸⁹⁰  5482 min g so' m.

6

Agarda momentli(payt) dinamika qatorlarida hadlar orasidagi sanalar teng bo’lmasa, u holda o’rtacha arifmetik tortilgan formula asosida aniqlanadi.

Y _ ^ti ^Yi

^ti

3. 
   misol. 2014-yil yanvar oyida korxonaning ro’yxatdagi ishchilar soni bo’yicha quyidagi o’zgarishlar sodir bo’lgan, kishi:
   

01.0I da ro’yxatidagilar soni 842

05.0I da ishdan bo’shaganlar soni 4

12.0I da ishga qabul qilinganlar soni 5

26.0I da ishga qabul qilinganlar soni 6

Yanvar oyi uchun o’rtacha ro’yxatdagi ishlovchilar sonini quyidagicha aniqlaymiz:

_{Y } ^ti^Yi

_ 4  842  7  838  14  843  6  849 _ 3368  5866  11802  5094 _

t_i 31 31

 ²⁶¹³⁰  843kishi.

31

Yillik o’rtacha mutlaq qo’shimcha o’zgarish quyidagi formula yordamida aniqlanadi (zanjirsimon usulda hisoblangan ko’rsatkichlar berilsa):

y  ^Yz

n  1

1-misolda keltirilgan ma’lumotlar asosida mamlakatda 2007- 2014- yillarda sholining o’rtacha mutloq o’zgarishi quyidagiga teng:

_{y } 24,8  4,7  1,4  14,5  24,6  1,0  (0,8) _ 70,2 _{ 10,03 min g tonna.}

8 1 7

Dinamika qatorlarida o’rtacha mutlaq o’zgarish, qatorning boshidagi va oxiridagi mutlaq daraja yordamida ham hisoblanadi:

_  ^{Y n  Y 0}  ^{220,5  150,3}  ^70,2  10,03 min g tonna.

^y n  1 8  1 7

Qaysi usulda hisoblanishidan qat’i nazar natija bir xil bo’ladi. Dinamika qatorlaridagi mavjud tendensiyalarni aniqlashda quyidagi usullardan foydalaniladi:

1. 
   davrlar oralig’ini kengaytirish;
   
2. 
   sirg’anchiq o’rtachalarni hisoblash;
   

3. 
   qatorlarni analitik tekislash.
   

4. 
   misol. Mamlakatda ishlab chiqarilgan iste’mol tovarlarining qiymati haqida ma’lumotlar keltirilgan:
   

Yillar	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
Iste’mol tovarlari, mlrd so’m.	1825,3	1200,6	1535,2	2023,3	1821,4	1733,7	2156,1	2001,4	2687,3

1. 
   davrlar oralig’ini (3 yillik) kengaytiring;
   
2. 
   sirg’anchiqli o’rtachalarni hisoblang;
   
3. 
   analitik tekislang.
   

Yechish.

Davrlar oralig’ini kengaytirish va sirg’anchiqli o’rtachalarning hisobini quyidagi jadvalda keltiramiz:

Yil- lar	Iste’mol tovarlari qiymati, mlrd so’m	3 yillik qiymat	O’rtacha yillik, mlrd so’m	Sirg’anchiq o’rtacha darajalarini hisoblash	Sirg’anchiqli o’rtacha qiymat, mlrd so’m
2006	1825,3			-	-
2007	1200,6			(1825,3+1200,6+1535,2):3	1520,4
2008	1535,2	4561,1	1520,4	(1200,6+1535,2+2023,3):3	1586,4
2009	2023,3			(1535,2+2023,3+1821,4): 3	1793,3
2010	1821,4			(2023,3+1821,4+1733,7):3	1859,5
2011	1733,7	5578,4	1859,5	(1821,4+1733,7+2156,1):3	1903,7
2012	2156,1			(1733,7+2156,1+2001,4):3	1963,7
2013	2001,4			(2156,1+2001,4+2687,3):3	2281,6
2014	2687,3	6844,8	2281,6	-	-

Jadval ma’lumotlaridan ko’rinib turibdiki sirg’anchiq o’rtachalar hisoblangan qator miqyosida ishlab chiqarilgan iste’mol tovarlari qiymati mutassil o’sib borish yo’nalishiga ega.

3. 
   Dinamik qatorlarida mavjud tendensiyani aniqlashning eng muhim usullaridan biri-analitik tekislashdir. Bunday sharoitda dinamika qatori quyidagi tenglama bilan tekislanadi:
   

Y _t  a₀  a₁t _,

^{bu yerda: t-vaqt birligi; Y} t ^{-nazariy daraja;} _a0 ^, _a1 ^{tenglama parametrlari.}

_a0 va _a1 parametrlarni aniqlash uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechish kerak:

_^ _a0 n  _{a1 }t  _Y

 0

2
_{a }t 

^a1 ^{t }

_Y  t

Agar _t  0 bo’lsa, u holda tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

_^ _a0 n  _Y _




^{ a}0

_{ }Y

n

_{a t}2  _Y  t

^ _Y  t

^{ 1 }_a1 





_t2

Demak,

Y_t  a₀  a₁t tenglamadagi _a0

va _a1

parametrlarini aniqlash uchun, _Y , _t²

va _Y t

larni aniqlash kerak.

_{a  }Y

 ^16984,3  1887,1

_a  ^Yt  ^6802,6  113,4 .

⁰ n 9

1 _t² ₆₀

Endi olingan qiymatlarni o’z o’rniga qo’ysak u holda tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

_Yt  1887,1 113,4 t

Barcha hisob-kitoblarni quyidagi jadvalda bajaramiz:

Yillar	Iste’mol tovarlari, mlrd so’m (U)	t	t2	Y t	Yt=1887,1+113,4∙ t
2003	1825,3	-4	16	-7301,2	Yt=1887,1+113,4∙ (-4)=1433,5
2004	1200,6	-3	9	-3601,8	Yt=1887,1+113,4∙ (-3)=1546,9
2005	1535,2	-2	4	-3070,4	Yt=1887,1+113,4∙ (-2)=1660,3
2006	2023,3	-1	1	-2023,3	Yt=1887,1+113,4∙ (-1)=1773,7
2007	1821,4	0	0	0	Yt=1887,1+113,4∙ (0)=1887,1
2008	1733,7	1	1	1733,7	Yt=1887,1+113,4∙ (1)=2000,5
2009	2156,1	2	4	4312,2	Yt=1887,1+113,4∙ (2)=2113,9
2010	2001,4	3	9	6004,2	Yt=1887,1+113,4∙ (3)=2227,3
2011	2687,3	4	16	10749,2	Yt=1887,1+113,4∙ (4)=2340,7
∑	16984,3	0	60	6802,6	16984,3

Dinamika qatorlaridagi tendensiyalarni o’rganishda statistikada mavsumiylik indeksi hisoblaniladi. Bu indeks dinamik qatorning boshlang’ich ma’lumotlar asosida

hisoblangan darajalar Y_i ni nazariy daraja Y  nisbati bilan aniqlanadi.

bu yerda:

I_m  mavsumiylik indeksi;

I  ^Yi 100 ,

m _Y

Y_i  oylik boshlang’ich darajalar;

Y -o’rtacha oylik daraja, ya’ni Y _Y_i : n

4. 
   misol. Viloyatda yetishtirilgan pomidor hajmi to’g’risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan (ming.tonna).
   

Berilgan ma’lumotlar asosida mavsumiylik indeksini aniqlang.

Oyllar	Yillar			Oyllar		Yillar
	2011	2012	2013			2011	2012	2013
Yanvar	60	63	62		Iyul		200	215	205
Fevral	65	68	72		Avgust		245	256	249
Mart	72	75	78		Sentabr		172	168	183
Aprel	96	104	100		Oktabr		135	139	138
May	145	156	159		Noyabr		80	83	87
Iyun	170	182	178		Dekabr		36	40	44
Jami							1476	1549	1555

Mavsumiylik indeksini aniqlash uchun quyidagi hisoblashlarni amalga oshiramiz.

Har bir oy uchun o’rtacha darajani aniqlaymiz:

_Y yan var  ^{Y 2011Y 2012Y 2013}  ^{60  63  62}  61,7

ⁱ n 3

_Y  fevral  ^{Y 2011 Y 2012  Y 2013}  ^{65  68  72}  68,3

ⁱ n 3

Xuddi shu kabi boshqa oylar uchun ham o’rtacha oylik darajalarni aniqlaymiz. Aniqlangan o’rtachalar asosida o’rtacha uch yillik oylik ko’rsatkichini ikki usulda aniqlash mumkin.

Uch yil uchun o’rtacha oylik ko’rsatkichi teng:

1. 
   Y  ^Yi
   

_n

_ 1476 1549 1555 _{ 127,2 ,}

36

_{2) Y } ^_{Yt } 61,7  68,3  75,0 100 153,3 176,7  206,7  250 174,3 137,3  83,3  40 _{ 127,2}

n 12

Demak, bir yilda o’rtacha 127,2 ming tonna pomidor yetishtiriladi.

Barcha oylar uchun hisoblangan umumiy o’rtacha daraja (127,2) mavsumiylik indeksini aniqlayotganda taqqoslashning o’zgarmas bazasi sifatida ishlatiladi.

Mavsumiylik indeksini quyidagicha hisoblaymiz:

Yanvar I

 ^{Y i} 100  ^61,7 100  48,5% ;

^m Y ^127,2

Fevral I

 ^{Y i} 100  ^68,3 100  53,7% .

^m Y ^127,2
Hisoblangan mavsumiylik indekslarini quyidagi jadvalda keltiramiz:
Viloyatda yetishtirilgan pomidor hajmi bo’yicha mavsumiylik indeksi

Oylar	Uch yillik Yi 	O’rtacha oylik  Yi  Y i  n     	Mavsumiylik indeksi IM 
Yanvar Fevral Mart Aprel May Iyun Iyul Avgust Sentabr Oktabr Noyabr Dekabr	185 205 225 300 460 530 620 750 523 412 250 120	61,7 68,3 75,0 100,0 153,3 176,7 206,7 250,0 174,3 137,3 83,3 40,0	48,5 53,7 59,0 78,6 120,5 138,9 162,4 196,5 137,0 107,9 65,5 31,4
Jami	4580	127,2	100

Olingan natijalarning yaqqolligini namayon qilish uchun ularni grafikda tasvirlaymiz.