|
4.”Donishnoma” asarida arifmetika masalalari
―Donishnoma‖ asaridagi to`rtta matematik fanlardan arifmetikaga bag`ishlangan bo`lim,
muzika bo`limidan oldin bayon etilgan bo`lib, bunda asosiy arifmetik masalalar bayon etilgan.
Arifmetika bo`limi 7 bobdan iborat.
Birinchi bob, sonlarning turi va umumiy xossalari haqida. Son deb yozadi ibn Sino, bu
birliklar to`plamidir. YA`ni ixtiyoriy son birdan katta bo`lgan natural sondir.
Sonlar juft va toq sonlarga bo`linadi, ularning xossalari ko`rsatiladi. Bular quyidagilardan
iborat:
1.Sonlar ketma-ketldigida, xar bir son, o`zidan teng uzoqlikda turgan ikki son yig`indisining
yarmiga teng. Masalan, agar 1,2,3,…,n,n
1,n
2… sonlar ketma ketligi berilgan bo`lsa, u xolda
birdan boshqa xar bir son quyidagi formula bilan ifodalanadi:
2.Sonlar ketma ketligida,bu ketma ketlik boshidan va oxiridan teng uzoqlikda turgan
sonlarning yig`indilari o`zaro teng bo`ladi. Bu arifmetik progressiya tuzuvchi sonlar qatorining
xossasini ifodalaydi. YA`ni 5, 10, 15,20,25,30 ketma-ketligida 5
30
10
25
35 va 4,6,8,10,12
ketma–ketligida 4
12
6
10
8
8
16.
3.Birdan boshlab, istagan songacha berilgan sonlar ketma-ketliginingyig`indisini topish
uchun hadlar sonining yarmi bilan hadlar soniga bir qo`shilgan sonni ko`paytirish kerak. Bu
arifmetik progressiya tuzuvchi sonlar yig`indisini ifodalavchi xossa xisobotlanadi. YA`ni, 1,2,…n
berilganda 1
2
3
…
4.Agar har qanday ketma-ketlikda birdan boshlab, biror songacha bo`lgan sonlar va
aksincha bu sondan boshlab, birgacha bo`lgan sonlar qo`shilsa, oxirgi sonning kvadrati xosil
bo`ladi. YA`ni 1,2,3,4,…, n ketma-ketlikda: 1
2
3
…
n Q(n-1)Q(n -2)Q…Q2Q1q n²
5.Agar toq sonlar birdan boshlab qushilsa, xadlar sonining kvadrati xosil bo`ladi. YA`ni
1,3,5,7,9,…,2n –1 ketma-ketlikda: 1
3
5…
(2n-1)
n².
Ikkinchi bob juft sonlar xaqida. Bu bobda juft sonlarning xossalari, juft-juft sonlar, juft-toq
sonlar, ularning xossalari bayon etilgan.
Agar ketma-ket juft sonlar berilgan bo`lsa, ya`ni 2,4,6,8,…,2 n. U xolda 2
4
6
8 …
…,2 n )
n²
n. Juft-juft son shunday sonki, uni ikkiga va xosil bo`lgan sonning yarimlarining har
birini yani ikkiga, hosil bo`lgan sonning choraklarining har birini yana ikkiga va hokazo bo`lish
mumkinki,toki oxirida bir soni hosil bo`lsin.
41
Bunday juft-juft sonlar ketma-ketligining yig`indisi birdan boshlab quyidagicha topiladi:
1Q2Q2²Q2³Q…Q2ⁿq12ⁿ¹-1
Uchinchi bob toq sonlar haqida. Bu bobda toq sonlarning uch xil shaklda bo`lishi va
ularning xossalari bayon etilgan. Bular: tub sonlar,murakkab sonlar,
O`zaro tub sonlardan iborat. Masalan, 3,5,7,11 tub sonlar, 9,15,21,25 murakkab sonlar. 9 va
25 o`zaro tub sonlar bo`ladi.
Tub sonlarni olish uchun iskandariyalik olim eratosfen (eramizdan oldingi 276-194 yil)
tomonidan berilgan ―g`alvir jadvali‖ usulini qo`llash mumkinligini ko`rsatiladi. Bunda xamma toq
sonlar ketma-ketligini yozilib, so`ng 3,5,7,11… sonlarga karrali bo`lgan sonlar uchiriladi.U xolda
qolgan sonlar – tub sonlar bo`ladi: 1,3,5,7,11,13,17,19,23…
To`rtinchi bob ―zoid‖, ―noqis‖ va ―mukammal‖ sonlar xakida. Bu bobda sonlar, ularning
kiymatlari bilan, shu son bo`luvchilarning yig`indisi bir-biriga tengligi va teng emasligiga qarab,
uch xilga bulinishi va ularning xossalari bayon etilgan. Agar biror son buluvchilarining yig`indisi
shu sonning o`zidan katta bo`lsa, u ―zoid‖ son deb aytiladi. Masalan, 12 ―zoid‖ son, chunki 1
2
3
4
6>12. Agar biror sog buluvchilarining yig`indisi, u sonning o`zidan kichik bo`lsa, u «noqis»
son deb aytiladi. Masalan: 8, chunki 1
2
4< 8. Agar biror son bo`luvchilarining yig`indisi, u
sonning o`ziga teng bo`lsa, u «mukammal» son deb aytiladi. Masalan, 6 va 28 mukammal sonlar,
chunki 1
2
3 q 6, 1
2
4
7
14q28.
SHuni aytish kerakki, «mukammal sonlar» tushunyachasi juda qadimiy tushuncha bo`lib,
bunday sonlar pifagorchilar asarlarida bayon etiladi. «Noqis» va «zoid» sonlar tushunchasi esa
keyinchalik paydo bo`lgan tushunchalar hisoblanadi.
2ⁿ shaklida har bir juft-juft son quyidagi yig`indi vositasida ifodalanadi.
1
2
2²
2³
…
2ⁿ־¹q2ⁿ-1
Demak, 2ⁿ shaklidagi son, o`z bo`luvchilarining yig`indisidan bitta ortiqdir. SHu sababli har
handay juft-juft son ―noqis‖ son hisoblanadi. Masalan, 2¹ q 16 sonining bo`luvchilari yig`indisi
1
2
2²
2³q 15 va 15 < 16. Demak, 16 ―noqis‖ sondir.
So`ngra juft-juft sonlardan ―mukammal‖ son hosil etish qoidasini beriladi. Ibn Sino bayon
etgan qoidani quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:
K q(1
2
2²
2³
…
2ⁿ־¹)•2ⁿ-1q (2ⁿ-1)•2ⁿ־¹
(1)
Bundan r va 2ⁿ-1 tub sonlar. Masalan, 1,2,4 sonlariga bu qoida tadbiq etilsa:
(1
2
2²)•2²q7•4q28 ―mukammal son‖ hosil bo`ladi. Bunda ―mukammal son‖ juft son bilan toq
sonning ko`paytmasiga teng bo`lganligi sababli, u juft bo`ladi. SHuning uchun ibn Sino
―mukammal son‖ faqat son bo`lishi kerakligi haqida yozadi. YUqoridagi formulada
r q2 bo`lsa,
k
q 6; r q3 bo`lsa,
k
q 28; r q5 bo`lsa,
k
q 496; r q7 bo`lsa,
k
q 8128 bo`ladi.
Demak, ―mukammal son‖ birliklar orasida bitta, o`nliklar orasida bitta va nihoyat mingliklar
orasida ham bitta bo`ladi. Bunday sonlar yunon olimi Nikoxmaxning ―Arifme6tikaga kirish‖
kitobida keltirilgan.
Navbatdagi ―mukammal son‖ Regiomontan (1436 - 1576) tomonidan topilgan. Bu son:
k
q 2¹²(2¹³-
1)q 33550336. SHuni qayd qilish kerakki, hozirgi vaqtda har qanday juft ―mukammal son‖
yuqoridagi (1)
Formula shaklida ifoda etilishi isbotlangan. Lekin birorta ham toq mukammal son topilmagan.
Ammo toq mukammal sonlar bo`lishi mumkin emasligini ham isbot etilmagan.
Beshinchi bob nisbatlar tug`risida. Bu bobda nisbat, uning ta`rifi ―oshirilgan nisbatlar‖,
―etishmaydigan nisbatlar‖, ularning xossalari bayon etilgan. Oshirilgan nisbatlar, ya`ni katta
sonning kichik songa nisbati quyidagi xollarda bo`lishi mumkin:
Bunday nisbatlarning xossalari konkret misollarda bayon etiladi. Etishmaydigan nisbat,
42
ya`ni kichik sonning katta songa nisbati, masalan, n : (n
1) shaklda nisbat tuziladi. Bunday
nisbatlar haqida ibn Sino shunday deb yozadi, ba`zi vaqt bunday nisbat «uchdan bir», chorak
,»un ikkidan bir « deb aytiladi. Ba`zi vaqt n ikki nisbat orqali xam aytadilar , maslan, oltidan
birining yarmi, undan birining yarmi , beshdan birining yarmi va xokozo.
«Donishnoma» asarining geometriya bulimining VIII bobida xam tuzma nisbatlar bayon
etilgan . Bu bobnibayon etishda usha bobning bazi natijalari xam kullaniladi bu bob kuyidagi
misol bilan boshlanadi agar AV turt, AS ikki, AD uch bulsa u xolda AD ning AS ga nisbati –
yarimga oshirilgan nisbat, AVning AD ga nisbati –uchdan birga oshirilgan nisbat,AVning ASga
nisbati esa karradi nisbat buladi. Demak, bunda tuzma nisbat hosil bo`ladiki,
Do'stlaringiz bilan baham: |
