Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Har 
qanday 
uchburchakda 
ichki 
burchaklar yig`indisi 2 d ga teng.
Masalan: AVS 
uchburchakda A,V va S burchaklarning yig`indisi 2 d 
bo`ladi.
Haqiqatan ham deb yozadi ibn Sino, S nuqtadan AV ga parallel to`g`ri chiziq o`tkazamiz. Buni 
yasash oson, ya`ni V burchakka teng burchak yasaymiz. Bu V burchakni VS bo`ylab suramiz, u 
vaqtda burchakning ikkinchi SE tomoniga parallel bo`ladi. SE chiziq ASD burchakni ikkiga 
bo`ladi. ASE burchagi SAV burchagiga va ESD burchagi AVS burchagigi teng bo`ladi. Demak, 
ASD burchak, A va V burchaklari yig`indisiga teng. Lekin SAD va ASV burchaklarning yig`indisi 
2 d bo`ladi. SHu sababli uchburchakda uchta ichki burchaklar yig`indisi 2 d ga teng. 

---

35 
So`ngra ibn Sino ikki tomoni va ular orasidagi burchaklari mos ravishda teng bulgan ikki 
uchburchakning teng ekanligini isbotlaydi. Uchta tomonlari mos ravishda teng bulgan ikkita 
uchburchakning tengligi, teng yonli uchburchaklarda asosdagi burchaklarning tengligi, har qanday 
uchburchakda katta tomon qarshisida katta burchak yotadi va, aksincha, katta burchakning katta 
tomonga tiralganligi haqida teoremalarning isbotlarini bayon etadi. 
4.TSirkul‘ va chizg`ich yordamida yasashga doir masalalarga bag`ishlangan bob. 
Bu bobni bayon etishdan oldin, shuni qayd qilish kerakki, ibn Sino o`zining geometrik 
mulohazalariga tsirkuldan geometrik asbob sifatida foydalanadi, ya`ni tsirkulni geometrik yasash 
uchun amalda tatbiq etadi. Ammo Evklid «Negizlar» asarila, tsirkul‘ haqida hech narsa yozmaydi. 
Uning hamma geometrik yasashlari ideal tsirkul‘ va chizg`ich yordamida bajarilgan bulishiga 
qaramasdan, u bu geometrik asboblarni amalda tatbiq etmaydi. Evklid o`z yasashlarida tsirkul‘ va 
chizg`ichdan deyarli foydalanmaydi. 
Bu bobda ibn Sino uchta geometrik masalani tsirkul‘ va chizg`ich yordamida yasashni 
kursatadi (
4-shakl)
1)AV chiziqda yotgan S nuqtadan, bu chiziqqa perpendikulyar chiqarish. 
YAsalishi: AV chiziqda S nuqtadan, uning 
har ikki tomonida uzoro teng SD va CE kesmalar 
ajratamiz:
D ni markaz qilib, tsirkul‘ yordamida DE radiusli 
aylana yoyini chizamiz. Xuddi shunday E nuqtani 
markaz 
qilib, 
ED 
radiusli 
aylana 
yoyini 
chizamiz.Bu yoylar G nuqtada kesishadi.G 
nuqtadan chizg`ich yordamida GD, GE GS 
chiziqlarini o`tkazamiz. 
Biz aytamizki, izlangan perpendikulyar GS 
chizig`i bo`ladi. Haqiqatan ham, yasashga ko`ra, 
GDE uchburchakning tomonlari o`zoro teng. GSD va GEC uchburchaklarning tomonlari ham mos 
ravishda teng bo`ladi. SHuning uchun ESG va DCG burchaklar teng. Demak, GC chiziq AV 
chiziqqa perpendikulyar bo`ladi. 
«Negizlar» asari birinchi kitobning 11- jumlasida bu masala bayon etilgan bo`lib, Evklid 
shunday yasashlar o`tkazadi: AS chizig`ida ixtiyoriy E nuqta oladi, so`ngra SE ga teng SD kesma 
ajratadi. DE kesmada teng tomonli uchburchak yasaydi. So`ngra uning G uchini S bilan 
tutashtiradi. GS kesma izlangan perpendikulyar bo`ladi. Evklid ham yasash kerak bo`lgan kesma, 
haqiqatan GS ekanligini, ikki uchburchakning tengligidan, GCE va GCD burchaklarninng teng 
ekanligini asoslaydi. Bu yasashlar shuni ko`rsatadiki, ibn Sinoning metodi Evklidnikidan bir oz farq 
qiladi. Ibn Sino yasash jarayonida tsirkul va chizg`ichdan to`g`ridan-to`g`ri va kengt ravishda 
foydalanadi. 
2) AV chiziqning tashqarisida yotgan S nuqtadan AV chiziqqa perpendikulyar tushirish. 
YAsalishi: AV chiziqning ikki tomonida ixtiyoriy D nuqtani belgilaymiz: 
S nuqtani markaz qilib, SD radiusli aylana 
chizamiz. Bu aylana AV chiziqni E va G 
nuqtalarda kesadi. EG kesmani N nuqtada teng 
ikkiga bo`lamiz. SN chiziqni o`tkazamiz. Biz 
aytamiz, SN izlangan perpendikulyar chiziq 
bo`ladi. Haqiqatan ham SE va SG chiziqlarni 
o`tkazib, hosil bo`lgan uchburchaklarning 
tengligidan, 
SN 
ning 
AV 
ga 
perpendikulyarligini ko`rsatish mumkin. 
3) AVS burchakni teng ikkiga bo`lish: 

---

36 
YAasalishi: tsirkul yordamida VS va VA chiziqlarda o`zaro teng VE va VD kesmalarni ajratamiz. E 
va D nuqtalarni tutashtiramiz. ED kesmani G nuqtada teng ikkiga bo`lamiz. Hosil bo`lgan 
uchburchaklarning tengligidan EVG va DBG burchaklarning tengligi kelib chiqadi. Demak, BG 
chizig`i AVS burchagini teng ikkiga bo`ladi. 
5.To`rtburchaklar, ularda joylashgan uchburchaklar va ularning munosabatlariga doir asosiy 
geometrik masalalar to`g`risidagi bob. 
Bu 
bobda 
uchburchaklar, 
to`rtburchaklar, 
to`g`ri 
burchakli 
uchburchaklar, 
parallelogrammlarning xossalari bayon etilgan. Uchburchak va to`rtburchaklarning o`zaro 
munosabatlari va ularning xossalarini ifodalovchi oltita teorema va ularning isbotlari bayon etilgan. 
Masalan: ulardan ba`zilari quyidagilardan iborat: 
Teorema 1. Agar qarama qarshi tomonlari o`zoro teng va parallel bulgan tekis shakl berilgan 
bo`lsa, uning diagonali bu shaklni teng ikkiga 
bo`ladi. 
Teorema 2. O`zoro parallel ikki chiziq 
orasiga joylashgan, umumiy asosga ega va 
qarama - qarshi tomonlari parallel bo`lgan 
shakllar tengdosh bo`ladi (ya`ni ularning yuzlari teng). Masalan: asoslari SD bo`lgan AVSD va 
EGCD tekis shakllar o`zoro tengdosh bo`ladi. 
Teorema 3. O`zoro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va umumiy asosga ega bo`lgan 
uchburchaklar tengdosh bo`ladi. Masalan SD asosga ega bo`lgan. ASD va GCD uchburchaklar 
tengdosh bo`ladi. 
Teorema 4. O`zoro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va asoslari teng bo`lgan 
to`rtburchaklar tengdosh bo`ladi. Masalan AVSD va GTHF turtburchaklar tengdoshdir: