Agarbiz o’zbekistonimizni dunyoga tarannum etmoqchi, uning qadimiy tarixi va yorug; kelajagini ulug’lamoqchi, uni avlodlar xotirasida boqiy saqlamoqchi bo’lsak, avalombor buyuk yozuvchilarni, buyuk shoirlarni

 
МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ НАЧАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЭСОНОВ М., Кокандский ГПИ 
Математическая компетентность - способность развивать и применять математическое мышление для 
решения целого ряда проблем в повседневных ситуациях. Опираясь на развитые навыки вычислений, основное 
внимание уделяется на знания и умения. Математическая компетентность включает, в разной степени, 
способность и готовность применять математические способы мышления (логическое и пространственное 
мышление) и описания объектов (формулы, модели, конструкции, графики, диаграммы).
Как известно, углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися 
параллельными им прямыми. Поэтому для нахождения величины угла между данными скрещивающимися 
прямыми 
a
и 
b
можно взять на одной из этих прямых, например на прямой 
a
, 
некоторую точку 
M
(рис.1) и в плоскости, определяемой прямой 
b
и точкой 
M
, 
провести через точку 
M
прямую 
b′
, 
параллельную прямой 
b
. 
Прямые 
a
и 
b′
образуют смежные и вертикальные углы. Угловая мера 
меньшего из них — это угол между прямыми 
a
и 
b′
, 
т. е. и между скрещивающимися прямыми 
a
и 
b
. 
Рис.1 
Рис.2 
380 

---

Перейдем к рассмотрению примеров. 
П р и м е р 1. На ребре 
SC
треугольной пирамиды 
SABC
взята точка 
D
(рис.2). Построим 
угол между прямыми 
AD
и 
BC
. 
Решение. Через прямую 
ÂÑ
– 
одну из данных прямых – и через точку 
D
, 
лежащую на другой 
данной прямой, уже проведена плоскость (это плоскость 
SBC
). 
Проведем в этой плоскости через точку 
D
прямую 
DF
, 
параллельную прямой 
BC
. 
Тогда угол 
ADF
– 
искомый угол.
Пример 2. В четырехугольной пирамиде 
SABCD
на ребре 
SA
взята точка 
F
(рис.3). Построим 
угол между прямыми 
AC
и 
DF
. 
Решение. Плоскость 
SAC
проходит через прямую 
AC
– 
одну из данных скрещивающихся 
прямых – и через точку 
F
, лежащую на другой данной прямой. Построим в этой плоскости 
прямую 
FK
, параллельную прямой 
AC
. Тогда угол 
DFK
– 
искомый угол. 
Пример 3. В треугольной пирамиде 
SABC
на ребре 
SA
взята точка 
D
, 
а внутри треугольника 
ABC
взята точка 
K
(рис.4). Построим угол между прямыми 
BD
и 
SK
. 
Решение. Рассмотрим два способа построения искомого угла. 
1-
й способ. Построим плоскость, проходящую через прямую 
BD
и точку 
K
. 
Сечением 
пирамиды этой плоскостью является треугольник 
BDF
. 
В плоскости 
BDF
через точку 
K
проведем прямую 
KL
, параллельную прямой 
BD
. 
Тогда угол 
SKL
– 
искомый угол. 
2-
й способ. Через прямую 
BD
и точку 
S
уже проходит плоскость – это плоскость 
SAB
. 
Проведем в 
этой плоскости через точку 
S
прямую 
SE
, 
параллельную прямой 
BD
. 
Тогда угол 
ESK
– 
искомый угол. 
Выбор той или иной прямой из двух данных скрещивающихся прямых, а также точки на другой из этих 
прямых может диктоваться соображениями наглядности, желанием избрать более простой путь построения или 
путь, ведущий к сравнительно более простым дальнейшим выкладкам, и т. д. 
Пример 4. В параллелепипеде 
1
1
1
1
D
C
B
ABCDA
(рис.5) построим угол между прямыми 
1
AB
и 
C
A
1
. 
Решение. Для построения искомого угла следует через какую-нибудь одну из двух данных 
скрещивающихся прямых и точку, взятую на другой данной прямой, провести плоскость. В рассматриваемом 
примере такая плоскость на изображении уже есть – это плоскость 
1
1
B
AA
. 
Через точку 
1
A
в этой плоскости 
проведем прямую 
F
A
1
, 
параллельную прямой 
1
AB
. 
Угол 
C
FA
1
– 
искомый угол. (Можно было выполнить 
построение и по-другому: провести плоскость через ту же прямую 
AB
, 
и через точку 
C
, а не 
1
A
; 
можно было 
также проводить плоскость через прямую 
C
A
1
и точку 
A
и т. д.) 
Пример 5. В параллелепипеде 
1
1
1
1
D
C
B
ABCDA
на ребре 
AB
взята точка 
F
, 
а на ребре 
AD
– 
точка 
E
(рис.6). Построим угол между прямыми B,F и А,Е.