И здан и е второе, стереотипное

§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе
Теорема 6.4.1 носит в известной мере условный характер: 
утверждается, что Xj = f* — нижняя грань функционала (4.3)
« г (и) = |и Ц . 
( ‘ )
есть наименьшее собственное число оператора А, если ука­
занная нижняя грань достигается. В настоящем параграфе 
для этого будет установлено некоторое достаточное условие.
Т е о р е м а 6.5.1. П у сть {w n\ — минимизирующая по­
следовательность для функционала (1). Если из это й по­
следовательности 
можно 
выделить подпоследователь­
ность, сходящуюся в метрике исходного пространства И,

---

т о  
= inf W (и) е с т ь наименьшее собственное число дан­
ного оператора, а предел выделенной подпоследователь­
ности е с ть соответствую щ ий собственный элемент.
По условию теоремы из последовательности \wn) можно 
выделить сходящуюся подпоследовательность { wnk\- Для крат­
кости обозначим w „k = Нетрудно видеть, что подпосле­
довательность {<рл} тоже будет минимизирующей. Поэтому 
будем считать, что нам дана минимизирующая последователь­
ность {ср*}, сходящаяся в Н. Элементы срА обладают следую­
щими свойствами: 
1
) ср*£//д; 
2
)J
4) существует такой элемент и ^ Н , что |] 
cpft 
— иЛ ->. 0. За-
ft-»»
метим, что
Пт* — ? * | “ ► °- 
( 2)
Ь, т —<я
Наша цель — доказать, что Щ ^ Н
а
и что \и^А —  X*.
Возьмем произвольный элемент 
и пусть t — произ­
вольное вещественное число. Элемент 
принадлежит
пространству 
Н
а
и , 
вообще говоря, отличен от нуля. Под­
ставив его в отношение (4.2), получим
II ** + *)* Г "
11
« li3"
Освобождаясь от знаменателя, найдем
[?* + tr\k> <Р* + t'4k\A — h (?к + Цк> ?й + *Па) Ss 0,
откуда
<41 '"Jft |л 
|1
f } -}- 
2
1 {[cpft, i\k]A — Xj 
(срд, 
к]А)} -j-
4” I ?* |a —
19k f
0.
Квадратный трехчлен слева неотрицателен при любых веще­
ственных t, поэтому его дискриминант неположителен и
И?*- 'Ы л —
(срй, Т]*) | <
1^1
TA | i — >■! U •?!* IIs V \ 9 h b ~
мы учли здесь, что 
||cpft||= 
1
.
Усилим последнее неравенство, отбросив вычитаемое под 
первым радикалом
I [?*- % ]д — h  (?*» % ) | < | 
|д / | <р* 
1
л — К  
(3)

---

Элементы т\ь(^НА произвольны. Потребуем, чтобы они 
были ограничены в совокупности, т. е. чтобы для любого k 
было
( Чк U
<
с > 
С =
con st- 
( 4)
Тогда из неравенства (3) следует