|
| и | д ^ ! « | а
(1 0 )
Т е о р е м а 6.9.1. П у с ть А и В — положительно опре
деленные операторы, удовлетворяющие условию теоремы
6.6.1, и п ус ть
В. Если кк и р.*— расположенные в
порядке возрастания собственные числа операторов А и
В , т о
k = l ,
2
, . . .
(
11
)
Обозначим через X (г>„ т»4, . . . , т;л_,) и ц, (к,, ®а> . .., vk_t)
минимумы функционалов \ufA и [и || при условиях (
2
) и (3).
Обозначим через и тот элемент, на котором достигается
первый минимум. По неравенству (10)
Х(г>|, V* . . . , vk_l) = \u \\^ \u \% ^ m m \u \% =
— ц(®
1
, Щ, ...» vk_i).
Но тогда
m inX(vv
. . . , T>ftJ) 3 * m in[*(»!, .......... t>ft_n),
что тождественно с неравенством (
11
).
§ 10. О росте собственных чисел задачи
Ш турма — Лиувилля
Обозначим через Х„ собственные числа оператора задачи
Штурма — Лиувилля
и (а) = « (* ) =
0
.
(
1
)
На коэффициенты р (х ) и q (x ) наложим те же ограниче
ния, что и выше, р (х), р' (jc), q (x ) непрерывны, р (х ) ^ ра,
q ( x ) ^ 0 на сегменте [a, ft]. В §
8
гл. 5 мы видели, что
множество функций, образующих энергетическое простран
ство оператора (
1
), не зависит от коэффициентов р (х ) и
q (x ) и что
ь
| «Р л = jj [/»С*)(Ц)* + < *)и*]
dx.
(2)
а
Непрерывные на сегменте функции р (х ) и д (х ) огра
ничены
Р
С*) <
Р\>
Я
М < ?i>
•*£[«»
ь\
Обозначим
Али = — ра— а,
и (а) — и {Ь ) — 0 ,
^i «==—
+
и (а ) — и (Ь ) — 0.
Операторы At и Aj суть частные случаи оператора А, полу
чаемые при />(*)=/>„, ? ( * ) = () и p (x )= p i, q {x ) = qi соот
ветственно. Из формулы (2) следует
ъ
ь
ь
I н \\ = Ро J ( ^ ) * dx,
| и \°Al = Pl jj
rf* +
§ иа dx.
а
а
о
Ясно,
ЧТО
и, следовательно,
А «S A «S Ах.
Если (л* и чк суть собственные числа операторов
и А х
соответственно, то по теореме 6.9.1
^ ^ V * , А? ——
1
,
2
,
(3)
Числа
и vft легко найти.
Числа
суть собственные числа задачи
Положив здесь £- = Х, мы придем к задаче п.
1
§
8
. В та-
Ро
ком случае
_
рУк*
Н
(b — а ) * '
' '
Точно так же числа
суть собственные числа задачи
P i j p + O' —
u (a) = u(b) =
0
,
и сравнение с результатами §
8
дает
/>,я
2
й
2
,
V* = (F= Т^Л-Чх-
(5)
Соотношения (3) — (5) дают неравенство, определяющее по
рядок роста собственных чисел задачи Штурма — Лиувилля
+ ^
<6>
УП РАЖ Н ЕН И Е
1. Доказать дискретность спектра оператора Тр упражнений
1 и 2 гл. 5.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Г Л А В А 7
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫ ВН Ы Е ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Необходимые сведения из функционального анализа
В настоящем параграфе приводятся преимущественно без
доказательств понятия и факты, необходимые для исследова
ния интегральных уравнений. Подробное изложение этих
вопросов можно найти, например, в книгах Л. В. Канторо
вича и Г. П. Акилова [1] или Ф. Риса и Б. Секефальви-
Надь [5], указанных в списке литературы к данному разделу.
1. Линейный оператор, действующий из банахова прост
ранства X в банахово же пространство Y и определенный
на множестве, плотном в X , называется вполне непрерывным,
если он преобразует любое ограниченное множество из об
ласти своего определения в множество, компактное в У.
Вместо слов «вполне непрерывный оператор» мы часто бу
дем писать только начальные буквы в. н. о.
2. Всякий в. н. о. ограничен. Обратное утверждение верно
для конечномерных пространств и неверно для пространств
бесконечномерных. В частности, в бесконечномерном прост
ранстве тождественный оператор не вполне непрерывен.
Ограниченный, заданный на плотном множестве в. н. о.
можно расширить по непрерывности на все пространство X .
Ниже мы всегда будем предполагать, что такое расширение
уже выполнено.
3. Сумма конечного числа в. н. о. есть в. и. о. Произве
дение (независимо от порядка) двух операторов, из которых
один вполне непрерывен, а другой ограничен, есть в. н. о.
4. Конечномерным оператором называется оператор вида
Ти— 2 lt,(u )v h,
(1)
6-1567
где число п конечно и не зависит от и, /л — функционалы,
линейные и ограниченные в X , a v k — фиксированные эле
менты из У.
Всякий конечномерный оператор есть в. н. о.
5. Пусть Тп, п = 1, 2, . . . , — последовательность в. н. о.,
действующих из ^ в У, и пусть существует оператор Т,
действующий из X в У и такой, что
lim | 7~ — Гп | =
0
.
П -* СО
Тогда Т есть в. н. о.
6
. Если Т — в. н. о., то сопряженный с ним оператор
Т* будет также вполне непрерывным.
Ниже будет рассматриваться только тот случай, когда
пространства X и У совпадают.
Т е о р е м а 7.11. П у с т ь Т — в. н. о., действующий
в гильбертовом пространстве Н. Каково бы ни было
число е
0
, можно построить такой конечномерный опе
р атор Т,, ч т о
|)7 - - Г . |<:е.
(
2
)
Обозначим через £ единичную сферу в Н, т. е. мно
жество элементов пространства И, нормы которых равны
единице. Через Т (£ ) обозначим то множество, в которое
оператор Т преобразует множество 2- Это последнее огра
ничено, а оператор 'Г вполне непрерывен, поэтому множе
ство 7'(2]) компактно. По известной теореме Хаусдорфа при
любом
для множества
’/ (£ ) существует конечная
е-сеть, т. е. существует конечное число г элементов г>* ^ Н,
к = \ , 2, . . . , г, обладающих следующим свойством: каков
Сы ни был элемент и ^ 2» найдется такой элемент Vp что
Ц Ти —
| eg е.
(3)
Из конечной последовательности^, г>9, . . . , vr вычеркнем
элементы, линейно зависящие от остальных; оставшиеся эле
менты (их число обозначим через s) подвергнем ортогонали-
зации по Шмидту. В результате получатся s элементов <р„
<р2, . . . , f s таких, что (ср р <р*) = «У* и каждый из элементов
е-сети линейно выражается через tp,, <р4, . . . ,
!
5
|
»* =
2
а*№-
Теперь неравенство (3) принимает вид
Положим теперь
7 ',н = £ (7и, ср,)
<р{ =
2 («>
( 4>
I
г= i
Как известно из теории ортогональных рядов,
II Та — Т,иfi< | Гн — 2 « у т
I
<*•
1
II
Это неравенство верно для любого элемента и £ Н, |]н[|= 1.
Но тогда I Т — Tt | ^ е; в то же время оператор Г., как это
видно из формулы (4), конечномерный. Теорема доказана.
Do'stlaringiz bilan baham: |
