И здан и е второе, стереотипное

В и, В» 
= 1, 
[Яр «i] = I «
1
Р = X*
Подставив это в выражение (5), найдем
К Ti] — 
(«
1
>
^) —
0
.

---

Последнее равенство показывает, что X, и щ суть соответ­
ственно собственное число и собственный элемент оператора
А. То, что X, — наименьшее собственное число, вытекает из 
теоремы 6.3.3.
Допустим, что мы уже нашли наименьшее собственное 
число Xj и соответствующий элемент и, оператора А. Как 
найти следующее собственное число Xg и собственный элемент 
щ ? Очевидно, что надо искать 
среди значений отношения 
(
2
) на функциях, ортогональных к щ в метриках обоих про­
странств Н  и Н А.
Обозначим через /У(,) подпространство пространства Н, ор­
тогональное к элементу uv а через 
— подпространство про­
странства Н А, ортогональное к щ 
уже в смысле новой 
метрики:
[и, ы,] =
0
, 
и £ н у .
Докажем, что
=  
П ^ (1)-
Пусть и £ Н^К Запишем тождество, определяющее первый 
собственный элемент:
[Hl, -rj] = X, (
и
„
tj
).
Положив в нем ц — и, получим (Hj, и) = у-[и,, и] = 0. Это
означает, что и 
и, следовательно, м ^
f| ^ 11)-
Обратно, пусть и ^ Н А f) Н (1); это означает, что и £ Н А 
и («, Hj) = 0. Совершенно аналогично приходим к равенству
[uv и] = X, (и„ и) =
0
,
откуда следует, что и £ Н % \
Если нам известны попарно ортогональные собственные 
элементы щ, щ , .
ип, то можно ввести подпространства 
//<") и № % пространств Н  и Н А>
соответственно ортого­
нальные (каждое в своей метрике) к щ, н4, ..., н„. Аналогично 
доказывается, что Н
= Н А f] Н п\
Т е о р е м а 6.4.2. Допустим, ч т о для положительно 
определенного оператора А нам известны п первых соб­
ственны х кисел

---

и соответствую щ ие им собственные элементы
U\,
М
2
» • • •, 
и„,
которые мы предполагаем попарно ортогональными. П у с т ь  
Х
я+1
есть то чн ая нижняя грань |м р на нормированных 
элементах и ^ Н (^ . Если она достигается, т о  Хя+1— соб­
ственное число оператора А, непосредственно следующее 
за Хя, а элемент, на котором э т а ниж няя грань дости­
гается, е сть собственный элемент, соответствую щ ий 
собственному числу Хя+1>
Рассуждая, как при доказательстве предшествующей тео­
ремы, мы придем к тождеству
[И«+
1
, С] - Хя+1 (мл+„ О = 0, 
V t e t f f 1. 
(6 )
Пусть rj — произвольный элемент пространства /Уд. По­
ложим
С = т
1
— S
( 7)
ft=i
Тогда 
и>
следовательно, 
■
для построенного
нами элемента С тождество (
6
) верно. Подставив выражение 
(7) в это тождество и учитывая, что [ия+1, иА| = (м,|+1> ик) = 0, 
найдем
[ия+), Т|] — Х
я+1
(ня+1, т]) =
0
,
Теорема доказана.